Kalkulator spadku po równi

Definicja równi pochyłej bez tarcia

Równią pochyłą nazywa się płaszczyznę nachyloną pod kątem α do poziomu. Bez tarcia jedyną siłą napędową wzdłuż deski jest składowa ciężaru równoległa do równi. Jej wartość to mg sin α, więc przyspieszenie, niezależne od masy, wynosi a = g sin α. Sinus rośnie od 0 przy desce poziomej do 1 przy desce pionowej, i tak samo rośnie przyspieszenie: od zera do pełnego g.

Długość L mierzy się wzdłuż deski, nie w poziomie. Wysokość, którą ciało traci, to h = L sin α. Przy 30° i 5 m jest to dokładnie połowa długości, 2,50 m. Energia potencjalna związana z tą wysokością zamienia się w kinetyczną, co daje tę samą prędkość końcową co wzór v = √(2aL), bo aL = g h.

Rys historyczny: Stevin, Galileusz i spowolniony spadek

Simon Stevin w dziele De Beghinselen der Weeghconst (1586) pokazał, że składowa ciężaru wzdłuż równi ma się do ciężaru jak wysokość równi do jej długości, czyli jak sin α. Jego doświadczenie z łańcuchem kul (clootcrans) dotyczyło równowagi, nie pomiaru czasu. Wniosek o składowej został jednak ten sam, którego używa ten kalkulator.

Galileo Galilei, w Discorsi z 1638 roku, toczył kule po równi, bo spadek pionowy był zbyt szybki dla zegara wodnego. Stwierdził, że drogi w kolejnych równych odstępach czasu mają się jak 1 : 3 : 5 : 7, czyli droga rośnie z kwadratem czasu. Równia zmniejszała przyspieszenie w stosunku sin α i dzięki temu dało się je zmierzyć. Wzór a = g sin α jest późniejszym zapisem tej samej zależności w notacji Newtona.

Wyprowadzenie a = g sin α z drugiej zasady Newtona

Krok 1. Oś wzdłuż równi kierujemy w dół deski, oś prostopadłą od deski w górę. Ciężar mg rozkłada się na mg sin α wzdłuż równi i mg cos α prostopadle do niej. Krok 2. Przy μ = 0 siła tarcia wynosi zero, a siła reakcji podłoża równoważy składową prostopadłą. Wypadkowa wzdłuż deski to więc samo mg sin α.

Krok 3. Druga zasada Newtona, F = ma, daje ma = mg sin α. Masa skraca się po obu stronach, zostaje a = g sin α. Krok 4. Dla α = 30° i g = 9,81 m/s² iloczyn wynosi 4,905 m/s². Panel pokazuje 4,90 m/s². Składowa prostopadła g cos 30° ≈ 8,496 m/s², a panel pokazuje 8,50 m/s². Udział a/g = sin α = 50,00 %.

Czas zjazdu i prędkość końcowa ze startu w spoczynku

Gdy przyspieszenie jest stałe, a prędkość początkowa wynosi zero, droga wzdłuż deski rośnie jak L = ½ a t². Odwrócenie daje t = √(2L/a). Prędkość na dole to v = a t, co przy tym czasie jest tym samym co v = √(2aL). Dla 30° i 5 m: a = 4,905 m/s², t = 1,43 s, v = 7,00 m/s.

Puste pole L oznacza sam wynik a. Wprowadzone L = 0 daje czas 0,00 s i prędkość 0,00 m/s, bo nie ma odcinka do przejechania. Przy α = 0 i L > 0 przyspieszenie wynosi zero, więc kalkulator nie dzieli przez zero: pokazuje komunikat, że zjazdu nie ma.

Założenia: zerowe tarcie, stałe g, brak oporu

Wzór a = g sin α jest ścisły przy trzech założeniach. Pierwsze: tarcie wynosi zero, zarówno statyczne, jak i kinetyczne. Już niewielkie μ zmniejsza przyspieszenie o g μ cos α; przy μ ≥ tan α klocek w spoczynku w ogóle nie rusza. Drugie: g jest stałe na całej długości. Dla równi o długości metrów i dziesiątek metrów jest to bardzo dobre przybliżenie.

Trzecie założenie dotyczy czasu i prędkości, nie samego a: prędkość początkowa wynosi zero, a opór powietrza jest pominięty. Na krótkiej, gładkiej zjeżdżalni błąd jest niewielki. Na 40-metrowym najedzie o kącie 35° model daje 21,22 m/s, a powietrze i tarcie nart obniżają rzeczywistą prędkość. Masa nie wraca do wzoru, dopóki tarcie i opór pozostają pominięte.

Kąt 0°, kąt 90° i granica z tarciem

Przy 0° deska leży poziomo, sin α = 0 i a = 0. Przy 90° deska stoi pionowo, sin α = 1 i a = g: to spadek swobodny, który liczy też osobny kalkulator czasu spadku. Między tymi końcami przyspieszenie rośnie płynnie. Wykres na stronie pokazuje sześć kątów przy tym samym g, które wprowadzisz.

Gdy deska jednak stawia opór, ten kalkulator przestaje opisywać zjazd. Kalkulator równi z tarciem odejmuje μ cos α w nawiasie. Siłę tarcia T = μ N, bez kąta równi, liczy osobny kalkulator siły tarcia. Nie mieszaj tych trzech wyników: tu μ jest z góry równe zeru.

Źródła

Definicja, wyprowadzenie i rys historyczny pochodzą z podręczników oraz źródeł historycznych: S. Stevin, De Beghinselen der Weeghconst, Lejda 1586; G. Galilei, Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze, Lejda 1638; D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, Podstawy fizyki, t. 1, rozdział o prawach Newtona i równi pochyłej, PWN; H. D. Young, R. A. Freedman, University Physics, rozdział o dynamice i równi; R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands, Feynmana wykłady z fizyki, t. I, rozdział 12 (siły i składowe); BIPM, broszura SI. Strona ma charakter edukacyjny.