Kalkulator energii potencjalnej

Definicja w jednorodnym polu

Blisko powierzchni Ziemi ciężar ciała o stałej masie można przyjąć jako siłę mg skierowaną w dół, ze stałym przyspieszeniem g. Energia potencjalna przypisana temu polu wynosi Ep = m·g·h, gdzie h jest wysokością względem umownego zera. Nie jest to osobny rodzaj energii. Jest to energia położenia w polu, które na krótkim odcinku uznajemy za jednorodne. Jednostką SI jest dżul: 1 J = 1 N·m = 1 kg·m²/s². Nazwa upamiętnia Jamesa Prescotta Joule’a. Definicja jednostki jest w broszurze SI (BIPM, 9. wydanie).

Dla 8 kg i 1,8 m kolejność jest krótka. Krok 1: ciężar mg = 8 × 9,81 = 78,48 N. Krok 2: iloczyn z wysokością 78,48 × 1,8 = 141,264 J. Panel zaokrągla ten wynik do 141,26 J. Masa 60 kg na 2 m ma 1177,2 J, czyli 1,177 kJ. Jeden kilogram na jednym metrze ma dokładnie 9,81 J, bo zostaje sama stała g.

Praca podnoszenia

Dla punktu o stałej masie praca wypadkowa równa się zmianie energii kinetycznej. Gdy ciało wznosi się ze stałą prędkością, zmiana energii kinetycznej wynosi zero, więc praca siły podnoszenia i praca ciężaru sumują się do zera. Siła podnoszenia jest wtedy równa ciężarowi, a jej praca na drodze h wynosi m·g·h. Energię potencjalną definiuje się tak, aby praca ciężaru równała się minusowi zmiany Ep. Stąd przyrost Ep między dwoma poziomami wynosi m·g·h.

Kalkulator podaje ten przyrost. Nie ma pola siły, więc nie zastępuje strony pracy. Dla plecaka 8 kg ta sama liczba 141,264 J pojawiłaby się na stronie W = F·s, gdyby wprowadzić 78,48 N i 1,8 m. Ten formularz przyjmuje masę i wysokość, a siłę ciężaru liczy sam.

Poziom odniesienia i znak

Zero energii potencjalnej wybiera się dowolnie, byle konsekwentnie w jednym zadaniu. Liczy się różnica. Przeniesienie zera o stałą dodaje do Ep stałą m·g·C i nie zmienia różnicy między dwoma poziomami. Podłoga, blat i dół stoku są równie dobrymi zerami. Wysokość nad morzem nie jest argumentem wzoru, dopóki zadanie samo nie wybierze morza jako zera.

Wysokość ujemna oznacza poziom poniżej przyjętego zera. Energia jest wtedy ujemna, bo iloczyn m·g·h zmienia znak razem z h. Masa nie może być ujemna. Dwa poziomy o tej samej różnicy h dają tę samą zmianę energii, nawet gdy oba leżą wysoko nad ziemią, o ile g nadal można uznać za stałe.

Stała 9,81 i przyspieszenie normalne

Przyspieszenie normalne gn = 9,80665 m/s² zostało przyjęte przez 3. Generalną Konferencję Miar w 1901 roku jako wartość umowna, a nie jako lokalne g w każdym miejscu. Kalkulator używa 9,81 m/s², wartości typowej dla zadań szkolnych. Dla 8 kg i 1,8 m różnica 9,81 − 9,80665 daje 0,048 J. Tego drugiego trybu na stronie nie ma.

Lokalne przyspieszenie ziemskie zmienia się z szerokością geograficzną i z wysokością. Podręczniki podają rząd od około 9,78 m/s² na równiku do około 9,83 m/s² na biegunach. Kalkulator nie ma pola szerokości i nie poprawia wyniku o tę różnicę. Nie podstawia też przyspieszenia na Księżycu.

Energia kinetyczna, sprężyna i potencjał punktowy

Podwojenie wysokości podwaja Ep. Podwojenie prędkości w energii kinetycznej czterokrotnie zwiększa Ek, bo tam prędkość jest w kwadracie. To inne pole i inny wzór. Przy swobodnym spadku bez oporu ubytek Ep może przejść w przyrost Ek, ale ten kalkulator nie liczy prędkości. Wysokość w rzucie pionowym liczy osobna strona z prędkości początkowej, a nie z wprowadzonego h.

Energia sprężyny ½kx² zależy od wydłużenia i od stałej sprężyny. Nie jest równa m·g·h. Potencjał grawitacyjny masy punktowej ma postać −GMm/r. Różnica tego potencjału między promieniem R i promieniem R + h jest bliska m·g·h, gdy g = GM/R² i h jest małe wobec R. Dla przewyższenia 300 m i średniego promienia Ziemi 6371 km stosunek h/R jest rzędu 4,7·10⁻⁵. Kalkulator tej poprawki nie liczy. Zostawia iloczyn przy g = 9,81 m/s².

Poza zakresem wzoru

Wzór nie obejmuje tarcia, oporu powietrza ani ciepła. Nie obejmuje też zmiany kształtu ciała i nie jest bilansem kolejki górskiej, bo tor ma straty. Wynik wagonika 117,72 kJ to energia różnicy 30 m, a nie prędkość na dole. Wzór nie jest energią orbity i nie stosuje twierdzenia wirialnego.

Gdy wprowadzona wysokość ma co najmniej 10 km, notatka przy wyniku przypomina, że stałe g jest przybliżeniem. Liczba na panelu pozostaje iloczynem m·9,81·h. Dla plecaka, wiadra i narciarza ta granica nie wchodzi w grę.

Źródła

Definicja, jednostka i związek pracy z energią potencjalną pochodzą z podręczników mechaniki oraz ze źródeł metrologicznych: D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, Podstawy fizyki, rozdziały o pracy i energii potencjalnej; H. D. Young, R. A. Freedman, University Physics, rozdział o energii potencjalnej; R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands, The Feynman Lectures on Physics, t. I, rozdziały 4 i 13; BIPM, broszura SI, 9. wydanie; uchwała 3. Generalnej Konferencji Miar (1901) w sprawie przyspieszenia normalnego; NIST, Special Publication 330, wartość gn. Strona ma charakter edukacyjny.