Przykład 1
Rzuca się poziomo z krawędzi z prędkością 6 m/s, z wysokości 8 m, przy g = 9,81 m/s². To przykład odniesienia na tej stronie.
Z = 7,66 m
Kalkulator rzutu poziomego
Wprowadź prędkość poziomą i wysokość krawędzi. Kalkulator liczy czas lotu ze wzoru t = √(2h/g) oraz zasięg Z = v₀·t. Kąt startu jest równy 0° i nie jest osobnym polem. Przy 6 m/s z wysokości 8 m czas wynosi 1,28 s, a zasięg 7,66 m. Model nie obejmuje oporu powietrza.
Wynik
Wprowadź prędkość poziomą i wysokość. Zasięg, czas lotu i prędkość przy lądowaniu zobaczysz tutaj.
Znasz samą wysokość i szukasz czasu spadku? Policz t = √(2h/g) w kalkulatorze czasu spadku swobodnego. Kąt inny niż 0°: rzut ukośny.
Jak to działa?
2h/g1,63 s²
t1,28 s
Z7,66 m
Rzut poziomy to ruch, w którym prędkość początkowa jest równoległa do poziomu, a składowa pionowa na starcie wynosi zero. Czas lotu z wysokości h spełnia wzór t = √(2h/g), a zasięg spełnia Z = v₀·t. Galileusz w Discorsi (1638) opisał taki lot jako złożenie ruchu poziomego jednostajnego i ruchu pionowego jednostajnie przyspieszonego. Nie zapisywał stałej g w dzisiejszej notacji. Współczesne podręczniki (Halliday, Resnick, Walker; Young, Freedman) podają ten sam rozdział składowych. Dla 6 m/s i h = 8 m przy g = 9,81 m/s² iloraz 2h/g wynosi 1,63 s², czas na panelu wynosi 1,28 s, a zasięg wynosi 7,66 m. Zasięg jest liczony z pełnej wartości czasu, a nie z iloczynu 6 × 1,28.
Kalkulator korzysta z liczb, które wprowadzasz: prędkości poziomej v₀, wysokości h oraz przyspieszenia g. Puste pole g oznacza 9,81 m/s². To szkolna wartość ziemska, a nie przyspieszenie standardowe 9,80665 m/s². Dla 6 m/s i 8 m obie wartości dają na panelu ten sam zasięg 7,66 m, bo wynik jest zaokrąglany do dwóch miejsc. Przecinek i kropka oznaczają ten sam separator.
Co pokazuje panel wyniku. Oprócz zasięgu kalkulator podaje czas lotu, prędkość pionową przy lądowaniu vᵧ = g·t, prędkość wypadkową v = √(v₀² + vᵧ²), kąt tej prędkości poniżej poziomu, iloraz 2h/g, zasięg przy podwojonej wysokości oraz wprowadzone g. Dla przykładu odniesienia prędkość pionowa wynosi 12,53 m/s (45,1 km/h), prędkość wypadkowa 13,89 m/s (50,0 km/h), a kąt 64,41°. Podwojenie wysokości mnoży czas i zasięg przez √2, więc z 8 m na 16 m zasięg rośnie z 7,66 m do 10,84 m. Cztery razy większa wysokość, 32 m, daje czas 2,55 s i zasięg 15,33 m. Przy 12 m/s z tych samych 8 m czas zostaje równy 1,28 s, a zasięg wynosi 15,33 m. Wykres rysuje zasięg dla wysokości 2 m, 4 m, 6 m, 8 m, 12 m i 20 m przy wprowadzonej prędkości i tym samym g. Przy 6 m/s i g = 9,81 m/s² te zasięgi wynoszą 3,83 m, 5,42 m, 6,64 m, 7,66 m, 9,38 m i 12,12 m.
Granice modelu. Wzór zakłada stałe g, brak oporu powietrza i prędkość początkową dokładnie poziomą. Kąt nie jest polem. Opór nie jest odejmowany. W powietrzu rzeczywisty zasięg bywa mniejszy, a czas lotu bywa dłuższy. Masa nie wchodzi do wzoru. Rzut z kątem liczy kalkulator rzutu ukośnego. Zasięg na płaskim terenie, ze wzoru Z = v₀² sin(2α)/g, liczy osobna strona. Przy kącie 0° ten wzór daje zero, bo lądowanie jest na wysokości startu. Tutaj lądowanie jest niżej o h, więc zasięg nie jest zerem. Sam pion liczy kalkulator rzutu pionowego. Czas z wysokości, bez prędkości poziomej, liczy kalkulator t = √(2h/g). Drogę z czasu przy starcie ze spoczynku liczy kalkulator h = ½gt².
Przełącznik jednostek w nagłówku zamienia prędkość na ft/s, wysokość na stopy, a g na ft/s², i przelicza liczby już wprowadzone. Czas zostaje w sekundach. Zdania na stronie zostają w jednostkach SI jako punkt odniesienia. Oś wykresu pokazuje te same wysokości startu w jednostce wybranej w nagłówku.
Przykłady używają tego samego wzoru. 6 m/s i 8 m dają zasięg 7,66 m. 10 m/s z 25 m daje 22,58 m. 8 m/s z 20 m przy g = 1,62 m/s² daje 39,75 m. Przycisk „Wypełnij ten przykład” wprowadza te liczby do pól i odświeża panel oraz wykres. Pola startują puste.
Wzór
t = √(2h/g)
Z = v0 · t
vy = g · t v = √(v0² + vy²) θ = arctan(vy/v0) poniżej poziomu
Model: rzut poziomy, czyli złożenie ruchu jednostajnego i spadku ze spoczynku w pionie (Galileusz, Discorsi, 1638; zapis szkolny t = √(2h/g), Z = v₀·t). Kąt startu jest równy 0° i nie jest daną. Kolejność obliczeń: iloraz 2h/g, pierwiastek jako czas, potem iloczyn v₀·t, następnie vᵧ, prędkość wypadkowa i kąt.
Teoria, wyprowadzenie i dziedzina
Definicja lotu z krawędzi
Rzutem poziomym nazywa się ruch ciała, które dostaje prędkość tylko w poziomie i spada swobodnie w pionie. Wysokość h jest różnicą między poziomem startu a poziomem lądowania. Pozioma składowa prędkości zostaje równa v₀, bo w tym modelu ciężar nie ma składowej poziomej. Pionowa składowa na starcie wynosi zero, więc pion jest spadkiem ze spoczynku: droga pionowa h = ½gt². Stąd czas lotu t = √(2h/g), a zasięg Z = v₀·t.
Niezależność ruchów
W Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze (1638) Galileusz opisał tor pocisku jako złożenie ruchu jednostajnego w poziomie i ruchu naturalnie przyspieszonego w pionie. Ten kalkulator liczy szkolną postać tego rozdziału dla kąta 0°. Nie wyznacza toru punkt po punkcie. Podaje czas, zasięg i prędkość w chwili lądowania.
Dlaczego czas nie zależy od v₀
Czas zamyka się z równania pionowego, w którym v₀ nie występuje. Mocniejsza prędkość pozioma wydłuża tylko zasięg. Przy 6 m/s i 8 m zasięg wynosi 7,66 m. Przy 12 m/s z tej samej wysokości czas nadal wynosi 1,28 s, a zasięg wynosi 15,33 m. Panel nie mnoży zaokrąglonego czasu 1,28 s przez prędkość. 6 × 1,28 dałoby 7,68 m, a kalkulator pokazuje 7,66 m.
Prędkość i kąt przy lądowaniu
W chwili lądowania składowa pionowa wynosi vᵧ = g·t. Dla przykładu odniesienia jest to 12,53 m/s. Prędkość wypadkowa łączy obie składowe: v = √(v₀² + vᵧ²) = 13,89 m/s, czyli 50,0 km/h. Kąt tej prędkości poniżej poziomu wynosi arctan(vᵧ/v₀) = 64,41°. Przy v₀ = 0 i wysokości 8 m zasięg wynosi 0,00 m, czas wynosi 1,28 s, a kąt wynosi 90,00°, bo ruch jest tylko pionowy.
Podwojona wysokość i podwojona prędkość
Wysokość stoi pod pierwiastkiem, więc podwojenie h mnoży czas i zasięg przez √2. Z 8 m na 16 m, przy 6 m/s, zasięg rośnie z 7,66 m do 10,84 m. Cztery razy większa wysokość podwaja czas przed zaokrągleniem. Panel dla 32 m pokazuje 2,55 s i 15,33 m. Podwojenie prędkości przy tym samym h podwaja zasięg i zostawia czas.
Czego ten wzór nie liczy
Wzór zasięgu na równym poziomie, Z = v₀² sin(2α)/g, opisuje start i lądowanie na tej samej wysokości. Przy α = 0° daje zero. Ten kalkulator startuje wyżej niż ląduje, więc używa czasu spadku, a nie sinusa podwojonego kąta. Nie ma pola kąta, masy, oporu ani siły. Puste pole g oznacza dokładnie 9,81 m/s². Przyspieszenie standardowe, przyjęte przez CGPM w 1901 roku, wynosi 9,80665 m/s². Kalkulator nie przełącza się na tę wartość sam. Dla pary odniesienia zaokrąglenie do dwóch miejsc i tak daje 7,66 m.
Jak korzystać
- Wprowadź prędkość poziomą w metrach na sekundę, na przykład 6. To składowa wzdłuż krawędzi, a nie prędkość w dół.
- Wprowadź wysokość krawędzi w metrach, na przykład 8. Zero metrów daje czas 0 s i zasięg 0 m.
- Pole g zostaw puste dla 9,81 m/s² albo wprowadź inną wartość, na przykład 1,62. Nie wprowadzaj 9,80665, jeśli zadanie podaje 9,81.
- Kliknij Oblicz albo poczekaj na wynik na żywo. Dla 6 m/s, 8 m i pustego g kalkulator pokaże zasięg 7,66 m oraz czas 1,28 s.
- Sprawdź panel: prędkość pionową, prędkość wypadkową, kąt, iloraz 2h/g i zasięg przy podwojonej wysokości. Wyczyszczenie formularza chowa panel. Kąt inny niż 0° liczy osobna strona.
Słownik symboli
v₀ to prędkość pozioma, h wysokość krawędzi, t czas lotu, Z zasięg. Dla 6 m/s i 8 m przy g = 9,81 m/s² zasięg wynosi 7,66 m.
- v₀
- Prędkość pozioma na starcie [m/s]. Dla 6 m/s i 8 m zasięg wynosi 7,66 m. Dla 12 m/s z tej samej wysokości zasięg wynosi 15,33 m, a czas zostaje równy 1,28 s. Zero daje zasięg 0,00 m.
- h
- Wysokość krawędzi nad lądowaniem [m]. Zero metrów daje czas 0,00 s. Z 32 m przy 6 m/s panel pokazuje czas 2,55 s i zasięg 15,33 m.
- g
- Przyspieszenie [m/s²]. Puste pole oznacza 9,81, a nie 9,80665. Wchodzi pod pierwiastek w czasie lotu.
- t
- Czas lotu [s], t = √(2h/g). Nie jest osobnym polem. Dla 8 m i pustego g wynosi 1,28 s.
- Z
- Zasięg [m], Z = v₀·t, liczony z pełnej wartości czasu. Dla przykładu odniesienia panel pokazuje 7,66 m.
- vᵧ
- Prędkość pionowa przy lądowaniu [m/s], vᵧ = g·t. Dla 8 m wynosi 12,53 m/s (45,1 km/h).
- v
- Prędkość wypadkowa przy lądowaniu [m/s], v = √(v₀² + vᵧ²). Dla 6 m/s i 8 m wynosi 13,89 m/s (50,0 km/h).
- θ
- Kąt prędkości przy lądowaniu poniżej poziomu, arctan(vᵧ/v₀). Dla przykładu odniesienia wynosi 64,41°.
Przykłady z życia
Przykład 2
Z mostu o wysokości 25 m, poziomo z prędkością 10 m/s. Czas jest dłuższy niż w przykładzie odniesienia, bo wysokość jest większa. Prędkość pozioma nie skraca spadku.
Z = 22,58 m
Przykład 3
Z dachu o wysokości 20 m, poziomo z prędkością 8 m/s, przy ziemskim g = 9,81 m/s². Opór powietrza nie jest odejmowany.
Z = 16,15 m
Przykład 4
Z krawędzi stołu o wysokości 3 m, z prędkością 4 m/s. Niska krawędź daje krótki czas lotu.
Z = 3,13 m
Przykład 5
Ze skarpy o wysokości 50 m, poziomo z prędkością 20 m/s. Wynik jest zasięgiem w próżni, przy stałym g.
Z = 63,86 m
Przykład 6
Z okna na wysokości 2,5 m, poziomo z prędkością 3 m/s. Ten sam wzór co przy wysokiej krawędzi, tylko mniejsze h.
Z = 2,14 m
Przykład 7
Te same 8 m/s i 20 m co w przykładzie z dachu, ale z wprowadzonym g = 1,62 m/s² z zestawienia NASA dla Księżyca. Kalkulator nie rozpoznaje planety i nie rozróżnia mas.
Z = 39,75 m
Przykład 8
Z pomostu na wysokości 1,5 m nad wodą, poziomo z prędkością 5 m/s. Opór powietrza i opór wody nie są odejmowane. Wynik jest zasięgiem do lustra wody w tym modelu.
Z = 2,77 m
Najczęstsze pytania
Co liczy ten kalkulator i z jakiego wzoru?
Kalkulator wyznacza czas lotu rzutu poziomego ze wzoru t = √(2h/g) oraz zasięg Z = v₀·t. Prędkość początkowa jest pozioma, więc składowa pionowa na starcie wynosi zero. Dla 6 m/s i wysokości 8 m przy g = 9,81 m/s² panel pokazuje czas 1,28 s i zasięg 7,66 m. Zasięg jest liczony z pełnej wartości czasu, a nie z iloczynu 6 × 1,28.
W jakich jednostkach wprowadzać prędkość, wysokość i g?
Prędkość wprowadza się w metrach na sekundę, wysokość w metrach, a g w metrach na sekundę do kwadratu. Czas jest w sekundach, a zasięg w metrach. Po przełączeniu nagłówka na jednostki US prędkość jest w ft/s, wysokość w stopach, a g w ft/s². Czas zostaje w sekundach. Przecinek i kropka oznaczają ten sam separator dziesiętny.
Co się stanie, gdy pole g zostawię puste?
Kalkulator przyjmie 9,81 m/s². Nie wstawia przyspieszenia standardowego 9,80665 m/s². Dla 6 m/s i 8 m obie wartości dają na panelu ten sam zasięg 7,66 m, bo wynik jest zaokrąglany do dwóch miejsc po przecinku. Inne g, na przykład 1,62, trzeba wprowadzić samodzielnie.
Dlaczego czas lotu nie zależy od prędkości poziomej?
Czas lotu pochodzi wyłącznie ze spadku z wysokości. Prędkość pozioma nie skraca i nie wydłuża tego czasu w modelu bez oporu. Przy 12 m/s z tych samych 8 m czas nadal wynosi 1,28 s, a zasięg wynosi 15,33 m. Przy 6 m/s zasięg wynosi 7,66 m.
Czym ten wynik różni się od spadku swobodnego i od rzutu ukośnego?
Ten kalkulator ma kąt startu równy 0° i start z wysokości h. Spadek swobodny liczy drogę z czasu przy prędkości początkowej równej zero i nie podaje zasięgu. Rzut pionowy nie ma składowej poziomej. Rzut ukośny przyjmuje kąt. Wzór zasięgu na płaskim terenie, Z = v₀² sin(2α)/g, przy kącie 0° daje zero, bo lądowanie jest na wysokości startu. Tutaj lądowanie jest niżej o h, więc zasięg nie jest zerem.
Co oznacza wysokość równa zero albo prędkość równa zero?
Przy wysokości 0 m czas wynosi 0,00 s i zasięg wynosi 0,00 m, bo nie ma spadku. Przy prędkości 0 m/s i wysokości 8 m zasięg wynosi 0,00 m, a czas wynosi 1,28 s, jak w spadku z tej wysokości. Liczba ujemna jest odrzucana. Puste pola prędkości i wysokości zostawiają panel bez liczby.
Czy wynik uwzględnia opór powietrza?
Nie. Opór jest granicą modelu, a nie osobnym wynikiem. Kalkulator nie skraca zasięgu i nie wydłuża czasu o powietrze. W powietrzu rzeczywisty zasięg bywa mniejszy, a czas lotu bywa dłuższy. Masa nie ma pola.
Dlaczego podwojenie wysokości nie podwaja zasięgu?
Ponieważ wysokość stoi pod pierwiastkiem. Podwojenie wysokości mnoży czas i zasięg przez √2. Z 8 m na 16 m, przy 6 m/s, zasięg rośnie z 7,66 m do 10,84 m. Cztery razy większa wysokość, 32 m, daje czas 2,55 s i zasięg 15,33 m. Podwojenie prędkości przy tej samej wysokości podwaja zasięg i zostawia czas.
Co pokazuje panel i wykres?
Panel podaje zasięg, czas lotu, prędkość pionową przy lądowaniu, prędkość wypadkową, kąt tej prędkości poniżej poziomu, iloraz 2h/g, zasięg przy podwojonej wysokości oraz wprowadzone g. Dla 6 m/s i 8 m prędkość pionowa wynosi 12,53 m/s, prędkość wypadkowa 13,89 m/s, a kąt 64,41°. Wykres rysuje zasięg dla wysokości 2 m, 4 m, 6 m, 8 m, 12 m i 20 m. Przycisk „Wypełnij ten przykład” wprowadza liczby i odświeża panel oraz wykres.
Jak wprowadzić inne przyspieszenie?
Wprowadź je w polu g, na przykład 1,62. Dla 8 m/s i wysokości 20 m zasięg wynosi wtedy 39,75 m, a czas 4,97 s. Przy ziemskim 9,81 m/s² te same prędkość i wysokość dają zasięg 16,15 m. Kalkulator nie rozpoznaje planety. Sprawdza tylko, czy g jest większe od zera.
Czy przecinek i kropka oznaczają to samo?
Tak. 8,5 i 8.5 oznaczają tę samą wysokość. Kalkulator przyjmuje oba zapisy jako separator dziesiętny.
Jak obliczyć czas lotu ze wzoru t = √(2h/g)?
Podziel dwukrotność wysokości przez g i wyciągnij pierwiastek. Przy h = 8 m i g = 9,81 m/s²: √(16/9,81) ≈ 1,28 s.
Jak policzyć zasięg Z przy 6 m/s i wysokości 8 m?
Najpierw czas lotu ≈ 1,28 s, potem Z = v₀·t = 6·1,28 ≈ 7,66 m.
Dlaczego czas lotu nie zależy od v₀?
W pionie vᵧ₀ = 0, więc spadek z wysokości h wyznacza t. Prędkość pozioma wpływa tylko na zasięg Z = v₀·t.
Czym rzut poziomy różni się od spadku swobodnego?
Czas lotu jest taki sam jak w spadku z tej wysokości, ale tu dodatkowo jest stała składowa pozioma i zasięg. Spadek swobodny nie ma pola v₀.
Czym ta strona różni się od rzutu ukośnego?
Tu kąt jest zawsze 0° i nie ma pola α. Rzut ukośny wprowadza kąt oraz składowe v₀ sin α i v₀ cos α.
Źródła wiedzy
Wzór, rozdział ruchu i jednostki pochodzą z podręczników mechaniki oraz ze źródeł metrologii. Strona nie wymyśla identyfikatorów publikacji.
- Wikipedia PL — Rzut ukośny
- Wikipedia — Projectile motion
- Wikipedia — Two New Sciences (Galileo, Discorsi, 1638)
- Wikipedia — Standard gravity (9.80665 m/s²)
- BIPM — The International System of Units (SI Brochure)
- GUM — Główny Urząd Miar
- NASA — Moon Fact Sheet
- Halliday, D.; Resnick, R.; Walker, J., Podstawy fizyki, t. 1, rozdział o ruchu pocisku, PWN.
- Young, H. D.; Freedman, R. A., University Physics, rozdział o ruchu w dwóch wymiarach.
Strona zaktualizowana 15 października 2026.