Artykuł
Stoisz na krawędzi mostu i wypychasz piłkę w bok. W pionie spada jak upuszczona, w poziomie jedzie ze stałą prędkością. Poniżej zobaczysz, jak policzyć czas lotu i zasięg.
Część 5 serii Fizyka bez tajemnic. Porównanie rzutów: pionowy, poziomy i ukośny obok siebie.
W tym artykule: v₀ to prędkość pozioma na starcie. h to wysokość, z której wypuszczasz ciało. Z to zasięg, czyli droga w poziomie. g to przyspieszenie ziemskie, około 9,81 m/s². vₓ zostaje stałe, bo w poziomie nie ma przyspieszenia.
Stoisz na krawędzi mostu albo dachu i wypychasz piłkę w bok. Nie nadajesz jej prędkości w górę ani w dół: startujesz z wysokości h z prędkością tylko w poziomie. To rzut poziomy.
W chwili startu vy0 = 0, więc pion zachowuje się jak spadek swobodny z tej wysokości. W poziomie, przy braku oporu, vx = v0 jest stałe. Czas lotu liczy spadek. Zasięg bierzesz ze stałej vx.
Rozkład wektorowy jest prosty: vx = v0, vy0 = 0, ax = 0, ay = -g (oś y w górę). Położenie, gdy y = 0 na poziomie lądowania, a start na y = h:
x(t) = v0·t
y(t) = h - ½·g·t²
Tor w płaszczyźnie xy to fragment paraboli. Siła ciężkości nie ma składowej poziomej w tym modelu, więc ruch w x jest jednostajny, a ruch w y jest niezależny. Najpierw domykasz t z h i g, potem mnożysz przez v0.
Warunek lądowania y(t) = 0 daje ½·g·t² = h, stąd czas lotu:
t = √(2h/g)
Zasięg poziomy to droga w x przez ten czas:
Z = v0·t = v0·√(2h/g)
Jednostki: h w metrach, v0 w m/s, t w sekundach, Z w metrach, g w m/s². Jeśli prędkość masz w km/h, podziel przez 3,6. Pierwsza intuicja, most: h = 20 m, v0 = 10 m/s, g = 9,81 m/s² daje t ≈ 2,02 s oraz Z ≈ 20,2 m. To ten sam zestaw, który wypełniasz w kalkulatorze rzutu poziomego.Jednostki: h w stopach (ft), v0 w ft/s, t w sekundach, Z w stopach, g w ft/s². Jeśli prędkość masz w mph, przelicz na ft/s. Pierwsza intuicja, most: h = 20 m, v0 = 10 m/s, g = 9,81 m/s² daje t ≈ 2,02 s oraz Z ≈ 20,2 m. To ten sam zestaw, który wypełniasz w kalkulatorze rzutu poziomego.
Im wyższy most przy tym samym v0, tym dłuższy lot i większy Z, ale zależność od h jest pierwiastkowa, nieliniowa. Dwie piłki z tej samej wysokości, jedna upuszczona, druga wypchnięta poziomo, w modelu bez oporu uderzają wodę w tej samej chwili. Druga jest tylko dalej w poziomie.
Przy lądowaniu vx = v0 się nie zmienia. Składowa y rośnie jak w spadku: |vy| = √(2·g·h). Wartość prędkości całkowitej to v = √(v0² + 2·g·h). W wielu zadaniach wystarczy Z i t; prędkość przy lądowaniu pojawia się, gdy pytają o energię albo o to, jak mocno uderzy.
Jeśli kąt startu nie jest zerem, to już rzut ukośny, nawet gdy h0 > 0. Nie upychaj cos α ≈ 1 na siłę, gdy treść podaje α = 10° czy 15°. Odwrotnie: rzut poziomy jest granicą ukośnego przy α → 0° z wieży. Gdy h → 0 przy α = 0, zasięg znika: nie ma czasu na lot.
Częsty błąd wygląda tak: „zasięg to v0²/g, bo tak było przy 45°”. To wzór z płaskiego rzutu ukośnego, nie z mostu. Tutaj nie ma kąta 45° i nie ma h0 = 0. Czas bierzesz ze spadku √(2h/g), a zasięg z Z = v0·t. Inna pułapka: t = h/v0, jakby pion był ruchem jednostajnym.
Druga intuicja liczbowa: gdy dostajesz v w km/h, przelicz natychmiast. Przy h = 45 m i v0 = 72 km/h (czyli 20 m/s) czas t = √(90/9,81) ≈ 3,03 s i Z ≈ 60,6 m. Policz to raz na kartce i raz w kalkulatorze, by zobaczyć, gdzie najczęściej giną zera przy przeliczeniu jednostek.Druga intuicja liczbowa: gdy dostajesz v w mph, przelicz natychmiast na ft/s. Przy h = 45 m i v0 = 72 km/h (czyli 20 m/s) czas t = √(90/9,81) ≈ 3,03 s i Z ≈ 60,6 m. Policz to raz na kartce i raz w kalkulatorze, by zobaczyć, gdzie najczęściej giną zera przy przeliczeniu jednostek.
Energia na starcie to Em = ½·m·v0² + m·g·h (jeśli zero Ep na ziemi). Przy lądowaniu Ep = 0 i Ek = ½·m·(v0² + 2·g·h). Bez oporu energia się zachowuje; zasięg i tak liczysz z kinematyki, bo energia nie mówi wprost, jak daleko w x dolecisz.
Gdy treść podaje czas lotu zamiast h, odwróć wzór: h = ½·g·t², potem Z = v0·t. Gdy podaje Z i h, możesz znaleźć v0 = Z / √(2h/g). Algebra działa w obie strony, nawet jeśli kalkulator jest nastawiony na typowe wejście v0, h, g.
Uwaga na wysokość efektywną: jeśli rzucasz z ręki nad krawędzią, h jest dystansem pionowym od punktu puszczenia do poziomu lądowania, nie wysokością mostu z dokumentacji. Kilkadziesiąt centymetrów różnicy przy małym h mocno psuje t, bo t zależy od pierwiastka z h.
Jeszcze jedna pułapka jednostek: mieszanie „pięter” z metrami albo stopami bez przeliczenia. Jeśli treść mówi „z trzeciego piętra”, zamień to na konkretne h, zanim wejdziesz w pierwiastek. Inaczej Z będzie losowe.
Przejdź do pełnego ukosu, gdy dostajesz kąt, chcesz H_max nad startem, wykres toru, albo lądowanie nie jest prostym „płaskim poziomem pod wieżą”. Wtedy lepszy jest rzut ukośny pełny. Sam poziomy zostaw, gdy treść mówi wprost: rzut poziomy albo „wypchnięto poziomo”.
Przed rachunkiem sprawdź: vy0 = 0? h znane w jednostkach długości? g ustalone? t z pionu? Z z v0·t? Jeśli któryś punkt nie pasuje, nie jesteś w czystym rzucie poziomym albo brakuje danych. Wtedy wróć do porównania rzutów albo do rzutu ukośnego.
Rzut poziomy uczy jednego nawyku: rozdziel składowe. Pion dyktuje czas. Poziom dyktuje zasięg. Gdy to kliknie, przejście do rzutu ukośnego jest już tylko dodaniem vy0 = v0·sin α i dłuższego równania na t.
Otwórz rzut poziomy. Wpisz v0, wysokość h oraz g = 9,81 m/s². Odczytaj czas lotu t i zasięg Z.
Jeśli treść podaje kąt albo chcesz pełny tor i składowe przy lądowaniu, nie forsuj tego narzędzia. Przejdź do rzutu ukośnego pełnego.
Start dokładnie poziomy (α = 0), więc vy0 = 0. Stałe g, brak oporu, lądowanie na poziomie y = 0 po spadku o h. Liczymy w metrach, sekundach i m/s.Start dokładnie poziomy (α = 0), więc vy0 = 0. Stałe g, brak oporu, lądowanie na poziomie y = 0 po spadku o h. Liczymy w stopach (ft), sekundach i ft/s.
Trzy konkretne przypadki: (1) α ≠ 0, więc vy0 nie jest zerem, (2) chcesz H_max nad startem albo pełny tor, (3) h = 0 i zasięg znika, bo nie ma czasu lotu. Wtedy użyj rzutu ukośnego i pełnego modelu, zamiast forsować √(2h/g).
| Wielkość | Wzór | Skąd |
|---|---|---|
| Czas lotu | t = √(2h/g) | Spadek w pionie z vᵧ₀ = 0 |
| Zasięg | Z = v₀·t | Stała vₓ = v₀ |
| Tor | y = h - ½gt², x = v₀t | Parabola w płaszczyźnie |
| α = 0, h₀ > 0 | pełny model ukośny | Gdy chcesz też vᵧ przy lądowaniu |
Z mostu o wysokości h = 20 m rzucasz poziomo z v0 = 10 m/s. Przyjmij g = 9,81 m/s². Policz czas lotu i zasięg.
Kroki
Wynik: t ≈ 2,02 s, Z ≈ 20,2 m
Pion startuje z vy0 = 0, więc zachowuje się jak zwykły spadek z wysokości h. Stąd t = √(2h/g), gdzie h to start nad poziomem lądowania.
Najpierw czas ze spadku, potem mnożysz stałą vx. Z = v0·√(2h/g) daje około 20,2 m przy g = 9,81 m/s².
W modelu bez oporu nie: ax = 0, więc vx jest stałe. Przyspieszenie g działa tylko w pionie i właśnie ono ustala czas lotu.
Poziomy ma α = 0 i vy0 = 0, więc czas bierzesz z samego spadku. Ukośny ma niezerową składową pionową na starcie i zwykle wzory z sin/cos α.
Nie dla czystego rzutu poziomego. Ten wzór jest do płaskiego rzutu ukośnego (h0 = 0) z kątem α, a nie do startu z mostu przy α = 0.
W poziomie nic nie zwalnia, a w pionie nabierasz prędkość jak przy spadku. Stąd v = √(v0² + 2·g·h), ze składowymi vx = v0 i |vy| = √(2·g·h).
Nawet mały kąt dodaje vy0, więc to już rzut ukośny z danym α i h0. Nie upraszczaj na siłę do √(2h/g) bez sprawdzenia składowej pionowej.
Zazwyczaj g = 9,81 m/s². Jeśli zadanie każe 10, użyj 10. Jednostki h i v0 trzymaj spójne z wyborem w nagłówku strony.
Gdy treść mówi o wypchnięciu poziomym z wysokości h, bierz rzut poziomy. Gdy pojawia się kąt albo chcesz pełny tor, przejdź do rzutu ukośnego pełnego.
W rzeczywistości tak, zwykle skraca zasięg i lekko wpływa na t. W typowym zadaniu przyjmujemy t = √(2h/g) bez oporu, a wynik traktujemy jako oszacowanie.