Przykład 1
Długość 1 m i puste pole g. Okres wynosi 2,0061 s, a pełnych wahnięć w minucie jest 29,91.
T = 2,0061 s
Kalkulator okresu wahadła
Wprowadź długość wahadła L w metrach i, jeśli chcesz, przyspieszenie g (puste pole oznacza 9,81 m/s²). Kalkulator liczy okres ze wzoru T = 2π√(L/g) w granicy małych kątów i podaje czas jednego wychylenia, częstotliwość oraz liczbę pełnych wahnięć na minutę. Przy 1 m okres wynosi 2,0061 s. Model nie obejmuje wahadła fizycznego ani poprawki dla dużych amplitud.
Wynik
Wprowadź długość L. Okres, częstotliwość i wykres T(L) pojawią się tutaj.
Założenia modelu (punkt, nieważka nić, wyprowadzenie) opisuje kalkulator wahadła matematycznego. Z okresu liczysz też f na częstotliwości z okresu i ω na prędkości kątowej.
Jak to działa
L1 m
g9,81 m/s²
L/g0,1019 s²
T = 2π√(L/g)2,0061 s
Przy małych kątach okres wahadła wynosi T = 2π√(L/g). Kalkulator dzieli długość L przez przyspieszenie g, wyciąga pierwiastek i mnoży wynik przez 2π. Masa ciężarka nie wchodzi do wzoru, a w tej granicy nie wchodzi też kąt wychylenia. Wzór podał Christiaan Huygens w Horologium oscillatorium (1673); jest to szkolny model wahadła matematycznego przy sin θ ≈ θ.
Dla L = 1 m i domyślnego g = 9,81 m/s² kalkulator pokazuje okres 2,0061 s. Iloraz L/g, zanim panel zaokrągli okres, wynosi około 0,1019 s². Jedno wychylenie na drugą stronę trwa 1,0030 s, częstotliwość to 0,4985 Hz, a pełnych wahnięć w minucie jest 29,91. Wahadło sekundowe, o okresie 2 s, ma przy tym g długość około 0,994 m. Wprowadzenie 0,994 daje w panelu 2,0000 s, nie dokładnie ten sam wynik co nitka metrowa.
Pole L to odległość od punktu zawieszenia do środka masy, w metrach. Pole g jest opcjonalne: puste oznacza 9,81 m/s². Na Księżycu wprowadź 1,62. Ta sama długość 1 m daje wtedy 4,9365 s, czyli około 2,46 razy dłużej niż na Ziemi. Przecinek i kropka w polu oznaczają ten sam separator dziesiętny.
Granica małych kątów. Wzór jest ścisły, gdy wychylenie dąży do zera. Przy około 20° rzeczywisty okres jest o około 0,8% dłuższy, przy 45° o około 4%. Kalkulator nie dodaje tej poprawki z całki eliptycznej, nie liczy masy nici, tłumienia ani wahadła fizycznego. Huśtawka na placu i wahadło zegara mieszczą się w tym modelu, dopóki kąt nie jest duży.
Okres rośnie jak pierwiastek z długości. L = 2 m daje 2,8370 s, a nie dwa razy 2,0061 s. L = 4 m daje 4,0121 s, czyli dwa razy okres wahadła metrowego. L = 0,25 m daje 1,0030 s. L = 3 m, jak długa huśtawka, daje 3,4746 s, i masa osoby na siedzisku tego nie zmienia.
Wyprowadzenie z równania ruchu jest na stronie wahadła matematycznego. Ta strona podaje okres do oszacowania huśtawki albo zegara oraz liczbę pełnych wahnięć na minutę. Częstotliwość f = 1/T jest w panelu; osobny kalkulator liczy samo f, gdy znasz już T. Prędkość kątową ω = 2π/T liczy kalkulator prędkości kątowej.
Wzór
T = 2π √(L / g)
Domyślnie g = 9,81 m/s2. Model: wahadło matematyczne w granicy małych kątów (C. Huygens, 1673). Kalkulator wyznacza T, potem f = 1/T oraz liczbę pełnych wahnięć na minutę, 60/T. Nie liczy poprawki na amplitudę.
Jak korzystać
- Wprowadź długość L w metrach, od zawieszenia do środka masy. Przykład odniesienia na tej stronie: 1 m.
- Pole g zostaw puste na Ziemi (9,81 m/s²). Na Księżycu wprowadź 1,62. Wprowadzone g musi być większe od zera.
- Kliknij Oblicz albo poczekaj na wynik. Dla 1 m i pustego g okres wynosi 2,0061 s.
- W panelu sprawdź czas jednego wychylenia, liczbę pełnych wahnięć na minutę, częstotliwość i iloraz L/g.
- Założenia szkolne opisuje kalkulator wahadła matematycznego. Duży kąt wydłuża rzeczywisty okres względem tej granicy.
Litery we wzorze T = 2π√(L/g)
Praktyczne wahadło w granicy małych kątów. Dla L = 1 m i g = 9,81 m/s² okres wynosi 2,0061 s.
- T
- Okres pełnego wahnięcia w sekundach. Przy 1 m i 9,81 m/s² wynik to 2,0061 s. Jedno wychylenie trwa T/2.
- L
- Długość od zawieszenia do środka masy, w metrach. L = 0,25 m daje okres 1,0030 s.
- g
- Przyspieszenie w m/s². Puste pole oznacza 9,81. Masa nie ma pola, bo w tym wzorze T od niej nie zależy.
- L/g
- Liczba pod pierwiastkiem, w s². Dla 1 m i 9,81 m/s² jest to około 0,1019 s².
- f
- Częstotliwość w hercach, f = 1/T. Dla 1 m wynosi 0,4985 Hz, czyli 29,91 pełnych wahnięć na minutę.
- θ
- Kąt wychylenia. Wzór jest granicą θ → 0. Przy około 20° rzeczywisty okres jest o około 0,8% dłuższy.
Przykłady z życia
Przykład 2
Długość 2 m przy ziemskim g. Okres wynosi 2,8370 s, a nie dwa razy 2,0061 s, bo długość jest pod pierwiastkiem.
T = 2,8370 s
Przykład 3
Krótka nitka 0,25 m. Okres wynosi 1,0030 s.
T = 1,0030 s
Przykład 4
Długość 0,5 m na Ziemi. Okres wynosi 1,4185 s.
T = 1,4185 s
Przykład 5
Długość 1 m przy g = 1,62 m/s² (Księżyc). Okres wynosi 4,9365 s.
T = 4,9365 s
Przykład 6
80 cm zapisane jako 0,8 m. Okres wynosi 1,7943 s.
T = 1,7943 s
Przykład 7
Długość 1,5 m. Okres wynosi 2,4569 s.
T = 2,4569 s
Przykład 8
Długość 1 m i g = 9,8 m/s². Okres wynosi 2,0071 s, o 0,0010 s więcej niż przy 9,81.
T = 2,0071 s
Przykład 9
Krótka długość 0,1 m. Okres wynosi 0,6344 s, czyli częstotliwość 1,5764 Hz.
T = 0,6344 s
Przykład 10
Huśtawka o długości 3 m od belki do siedziska. Okres wynosi 3,4746 s i nie zależy od masy osoby.
T = 3,4746 s
Propozycje użycia
- Szacujesz okres huśtawki: 3 m na Ziemi daje 3,4746 s.
- Porównujesz Ziemię i Księżyc przy L = 1 m: 2,0061 s oraz 4,9365 s.
- Z okresu czytasz, ile pełnych wahnięć przypada na minutę, zanim przejdziesz do f = 1/T albo ω = 2π/T.
Najczęściej zadawane pytania
Co liczy ten kalkulator i z jakiego wzoru?
Kalkulator wyznacza okres wahadła ze wzoru T = 2π√(L/g): dzieli długość przez g, wyciąga pierwiastek i mnoży przez 2π. Dla 1 m i 9,81 m/s² wynik to 2,0061 s. Obok pokazuje czas jednego wychylenia, częstotliwość i liczbę pełnych wahnięć na minutę.
W jakich jednostkach wprowadzać długość i g?
Domyślnie długość w metrach, a g w metrach na sekundę do kwadratu. 80 cm wprowadź jako 0,8 m; okres wynosi wtedy 1,7943 s. Przecinek i kropka oznaczają ten sam separator. Po przełączeniu nagłówka na jednostki US pola przyjmują stopy i ft/s², a okres zostaje w sekundach.
Co się stanie, gdy pole g zostawię puste?
Kalkulator przyjmie 9,81 m/s². Inną wartość wprowadź sam, na przykład 1,62 na Księżycu. Przy L = 1 m okres na Księżycu wynosi 4,9365 s.
Czy masa ciężarka zmienia okres?
W tym wzorze nie. Kilogram i 200 g na tej samej długości mają ten sam okres, bo masa skraca się w równaniu ruchu.
Czy wzór obowiązuje przy dużym kącie wychylenia?
Poza granicą małych kątów już nie. Kalkulator podaje T dla sin θ ≈ θ. Przy około 20° rzeczywisty okres jest o około 0,8% dłuższy, przy 45° o około 4%. Tej poprawki kalkulator nie dodaje.
Jak okres rośnie wraz z długością?
Jak pierwiastek z L. Cztery metry dają 4,0121 s, czyli dwa razy okres wahadła o długości 1 m (2,0061 s), a nie cztery razy.
Jak z okresu otrzymać częstotliwość?
Częstotliwość to f = 1/T. Dla 2,0061 s wynosi 0,4985 Hz. Ten sam iloraz jest w panelu wyniku. Osobny kalkulator częstotliwości z okresu liczy samo f, gdy znasz już T.
Czym ta strona różni się od wahadła matematycznego?
Wzór jest ten sam. Tam są założenia modelu: punkt, nieważka nić i wyprowadzenie. Tutaj przykłady dotyczą huśtawki, zegara i własnego g, a panel podaje wahnięcia na minutę.
Czy kalkulator uwzględnia tłumienie?
Nie. Opór powietrza zmniejsza wychylenie, a okres w granicy małych kątów prawie się nie zmienia. Kalkulator nie liczy zanikania ruchu.
Dlaczego przy g równym zeru nie ma wyniku?
Bez przyspieszenia nie ma siły zwracającej i wahadło nie drga. Kalkulator wymaga L > 0 oraz g > 0 i do tego czasu pokazuje komunikat zamiast okresu.
Jak obliczyć okres wahadła prostego?
Użyj wzoru T = 2π√(L/g). Przy L = 1 m i g = 9,81 m/s²: √(1/9,81)·2π ≈ 2,006 s. Masa ciężarka nie wchodzi do wzoru.
Ile wynosi okres wahadła sekundowego?
Pełny okres 2 s (jedno wychylenie = 1 s). Przy g = 9,81 m/s² długość wynosi L = gT²/(4π²) ≈ 0,994 m.
Ile wynosi T przy L = 0,5 m na Księżycu?
Około 3,49 s przy g = 1,62 m/s². Na Ziemi to samo wahadło ma T ≈ 1,42 s — okres rośnie jak 1/√g.
Czy to wahadło fizyczne?
Nie. Tu T = 2π√(L/g) dla punktu na nieważkiej nici. Wahadło fizyczne używa T = 2π√(I/(mgd)) — osobny model.
Czy kalkulator obejmuje duże kąty wychylenia?
Nie. Wynik jest granicą małych kątów. Przy około 20° realny okres jest dłuższy o około 0,8%, przy 45° o około 4%; poprawka eliptyczna nie jest w panelu.
Źródła wiedzy
Wzór, granica małych kątów i jednostki pochodzą z podręczników oraz z układu SI. Kalkulator nie zastępuje pomiaru w laboratorium.
- Wikipedia — wahadło matematyczne
- Wikipedia — Pendulum (poprawka na amplitudę)
- BIPM — broszura SI
- GUM — Główny Urząd Miar
- Huygens, C., Horologium oscillatorium, Paryż 1673.
- Halliday, D.; Resnick, R.; Walker, J., Podstawy fizyki, t. 2 — drgania, wahadło matematyczne.
Strona zaktualizowana 15 października 2026.