Kalkulator pierwszej prędkości kosmicznej

Definicja pierwszej prędkości kosmicznej

Pierwszą prędkością kosmiczną nazywa się prędkość, przy której ciało w polu grawitacyjnym masy M zamyka orbitę kołową o promieniu r i nie potrzebuje już napędu, aby na niej zostać. Siła grawitacji jest wtedy jedyną siłą dośrodkową. Energia całkowita na takiej orbicie jest ujemna i równa −GMm/(2r): połowa energii potencjalnej zamienia się, w sensie twierdzenia o wiriale, na energię kinetyczną. Ciało o mniejszej prędkości spada po elipsie albo po prostej, ciało o większej — aż do v₂ — nadal jest związane, ale tor staje się elipsą o ognisku w środku masy.

Z definicji wynikają trzy własności okręgu. Po pierwsze, v₁ nie zależy od masy satelity. Po drugie, prędkość jest styczna do toru: składowa radialna jest równa zero, inaczej promień rósłby albo malał. Po trzecie, v₁ maleje jak 1/√r, a okres rośnie jak r do potęgi 3/2. Dlatego satelita geostacjonarny jest wolniejszy od ISS, choć krąży znacznie wyżej, i dlatego jego okres pokrywa się z dobą gwiazdową.

Od Keplera do Sputnika

Johannes Kepler w Harmonices mundi (1619) zapisał, że kwadrat okresu obiegu jest proporcjonalny do sześcianu średniej odległości od Słońca. Isaac Newton pokazał w Principiach (1687), że ta proporcja wynika z siły malejącej jak 1/r². Myślowy strzał z wysokiej góry, opisany w De mundi systemate (1728), rozdziela dwa progi: prędkość, przy której kula okrąża Ziemię, oraz większą, przy której już nie wraca. Nazwa „pierwsza prędkość kosmiczna” utrwaliła się w polskiej i rosyjskiej dydaktyce; w literaturze anglojęzycznej mówi się raczej o circular orbital speed.

Pierwszym sztucznym satelitą Ziemi był Sputnik 1, wyniesiony 4 października 1957 roku na niską orbitę. Prędkość takiej orbity leży bliżej 7,67 km/s z przykładu ISS niż szkolnych 7,91 km/s liczonych przy samej powierzchni. Powierzchniowy wynik zostaje wzorcem porównawczym, nie receptą na lot.

Wyprowadzenie z siły dośrodkowej

Krok 1. Siła grawitacji działająca na satelitę o masie m wynosi F = GMm/r². Krok 2. Na okręgu ta sama siła jest siłą dośrodkową mv₁²/r, więc GMm/r² = mv₁²/r. Krok 3. Skracamy m (m > 0) i mnożymy obustronnie przez r: v₁² = GM/r, zatem v₁ = √(GM/r). Krok 4. Dla Ziemi, z G = 6,67430·10⁻¹¹ N·m²/kg², M = 5,972·10²⁴ kg i r = 6,371·10⁶ m, otrzymujemy GM = 3,986·10¹⁴ m³/s² i v₁ = 7 910 m/s.

Okres dostajemy z drogi po obwodzie: T = 2πr/v₁ = 2π√(r³/GM). Dla powierzchni Ziemi jest to 84,3 min. Podstawienie r = 42 164 km daje 23,9 h, czyli w tym modelu dobę gwiazdową orbity geostacjonarnej. Ten sam wzór zapisany przez g = GM/r² ma postać v₁ = √(gr). Dla powierzchni Ziemi √(9,82·6,371·10⁶) wraca do 7,91 km/s.

Związek z prędkością ucieczki i z elipsą

Druga prędkość kosmiczna v₂ = √(2GM/r) wynika z energii, nie z siły dośrodkowej, i jest dokładnie √2 razy większa od v₁. Dla Ziemi 7,91 km/s·√2 = 11,19 km/s. Energia kinetyczna ucieczki jest dwa razy większa niż energia kinetyczna orbity kołowej, bo prędkość rośnie tylko o 41 procent, a energia rośnie z kwadratem prędkości. Między v₁ a v₂ tor jest elipsą; prędkość na elipsie opisuje wzór vis-viva v = √[GM(2/r − 1/a)], którego ten kalkulator nie liczy.

Trzecia prędkość kosmiczna, około 16,7 km/s względem Ziemi, pozwala opuścić Układ Słoneczny. Nie jest sumą v₁ i prędkości Ziemi wokół Słońca. Samą prędkość kołową Ziemi na 1 AU (29,79 km/s) kalkulator podaje jako przykład z masą Słońca, bez składania wektorów.

Założenia i to, co model pomija

Na mocy twierdzenia Newtona o powłokach pole na zewnątrz kuli o symetrii sferycznej jest takie, jak pole punktu o tej samej masie. Ziemia jest spłaszczona, więc prawdziwe GM i prawdziwe orbity wymagają harmonik geopotencjału; szkolny pierwiastek tego nie widzi. Masa satelity ma być dużo mniejsza od M. Dla dwóch porównywalnych ciał w liczniku stoi M + m.

Model pomija powietrze. Na wysokości ISS opór jest mały, ale wystarcza, by bez korekt stacja zniżała orbitę. Start na wschód z równika dodaje około 0,465 km/s do prędkości względem gruntu, jednak v₁ w tym kalkulatorze jest prędkością względem inercjalnego środka masy, nie względem pasma startowego. Rakieta nie wlatuje na orbitę z gotową v₁ przy ziemi: rozpędza się stopniowo i osiąga prędkość właściwą dla swojego r już ponad gęstą atmosferą.

Źródła

Definicja, wyprowadzenie i wartości liczbowe pochodzą z podręczników mechaniki i źródeł metrologicznych: I. Newton, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, 1687, oraz De mundi systemate, 1728; J. Kepler, Harmonices mundi, 1619; D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, Podstawy fizyki, t. 2, rozdział o grawitacji, PWN; H. D. Young, R. A. Freedman, University Physics, rozdział „Gravitation”; R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands, Feynmana wykłady z fizyki, t. I, rozdział 7; H. D. Curtis, Orbital Mechanics for Engineering Students, Butterworth-Heinemann; CODATA 2018 (NIST), wartość G; NASA Planetary Fact Sheets. Strona ma charakter edukacyjny.