Kalkulator pierwszej prędkości kosmicznej

Podaj masę planety i promień orbity. Dostaniesz prędkość na okręgu. Ziemia i r = 6371 km to 7,91 km/s. Wyżej, przy r = 6771 km, v₁ spada do 7,67 km/s.

Na orbicie a = v₁²/r = GM/r²: przyspieszenie dośrodkowe i g. Siła: dośrodkowa = grawitacja. Ucieczka: v₂ = v₁√2.

Dane

Wynik

Stała G (N·m²/kg², opcjonalnie), Masa M (kg) i Promień orbity r (m). Wynik pojawi się tutaj.

Jak to działa

v₁ r v₁ = √(GM / r)
Orbit kołowa: prędkość v₁ utrzymuje tor o promieniu r wokół masy M.

Pierwsza prędkość kosmiczna to prędkość na orbicie kołowej. Grawitacja dostarcza przyspieszenia do środka, więc GM/r² = v₁²/r. Stąd v₁ = √(GM/r). Lepiej wpisać osobno G, M i r niż tylko iloczyn GM: widać, skąd bierze się wynik.

Przy powierzchni Ziemi r = 6,371×10⁶ m i M = 5,972×10²⁴ kg. GM/r = 6,256×10⁷, pierwiastek to 7910 m/s, czyli 7,91 km/s. Szkolne 7,9 km/s jest zaokrągleniem. Wzór nie zna atmosfery: tuż nad ziemią i tak nie polecisz.

Na LEO r = 6,771×10⁶ m, v₁ = 7670 m/s, około 7,67 km/s. Większe r w mianowniku pod pierwiastkiem, mniejsza prędkość. Na geosynchronicznej r ≈ 4,216×10⁷ m v₁ spada do około 3,07 km/s.

Masa satelity się skraca. Ten sam v₁ dla 1 kg i dla stacji. Siła do środka to grawitacja, liczona też jako F = m v₁²/r. Ucieczka z układu to v₂ = v₁√2, około 11,19 km/s przy tej samej powierzchni.

M i r muszą być dodatnie. Puste G = 6.67430×10⁻¹¹. Wynik jest w m/s, kalkulator pokazuje też km/h albo mph z nagłówka. Przecinek i kropka w 5,972e24 działają tak samo.

Wykres v₁(r) przy stałym M maleje. Dwa razy większe r to v₁ mniejsze o √2, nie o połowę. Drugą prędkość i samo g liczysz na sąsiednich stronach, z tymi samymi M i r.

Jak korzystać

  1. Pole G zostaw puste, albo wpisz stałą z zadania.
  2. Wpisz M w kilogramach, na przykład 5.972e24.
  3. Wpisz promień orbity r w metrach: 6371000 przy powierzchni, 6771000 na LEO.
  4. Kliknij Oblicz. Ziemia i 6371 km dają 7,91 km/s. Te same M i 6771 km dają 7,67 km/s.
  5. Ucieczkę liczysz obok jako v₂ = √(2GM/r). Tu zostaje okrąg.

Wzór

v1 = √(GM / r)

Równoważnie v12 / r = GM / r2 (a dośrodkowe = g).

Litery we wzorze v₁ = √(GM/r)

Orbita kołowa: v₁ = √(GM/r). Ziemia i r = 6371 km to 7,91 km/s; wyżej, przy r = 6771 km, v₁ spada do 7,67 km/s.

v₁
Prędkość na okręgu w m/s. GM/r = 6,256×10⁷, pierwiastek 7910 m/s, czyli 7,91 km/s przy powierzchni.
G
Stała grawitacji, opcjonalna. Razem z M i r składa v₁; puste G bierze 6.67430×10⁻¹¹.
M
Masa planety, 5,972×10²⁴ kg dla Ziemi. To nie jest v₂ = v₁√2 z karty ucieczki.
r
Promień orbity w metrach. 6,371×10⁶ m to 7,91 km/s; 6,771×10⁶ m to już 7,67 km/s.

Przykłady z życia

Przykład 1

M i R Ziemi: v₁ ≈ 7.9 km/s.

Przykład 2

r ≈ 6771000 m.

Przykład 3

r ≈ 6871000 m.

Przykład 4

M ≈ 7,35e+22 kg, r ≈ 1837000 m.

Przykład 5

M ≈ 6,39e+23 kg, r ≈ 3390000 m.

Przykład 6

r ≈ 42164000 m.

Przykład 7

r = 12742000 m.

Przykład 8

orbita Ziemi wokół Słońca (skala).

Przykład 9

G = 6.67e-11, Ziemia, powierzchnia.

Przykład 10

r = 6800000 m.

Propozycje użycia

  • Szybkie v₁ dla Ziemi, Księżyca albo Marsa.
  • Porównanie 7,91 km/s przy powierzchni z 7,67 km/s na LEO.

Powiązane kalkulatory

Przyspieszenie dośrodkowe
Na orbicie kołowej przyspieszenie do środka równa się polu g.
Siła dośrodkowa
Przyciąganie grawitacyjne jako siła do środka orbity.
Energia potencjalna
Energia w studni grawitacyjnej, obok prędkości ucieczki.
Kalkulator drugiej prędkości kosmicznej
Druga prędkość kosmiczna: ucieczka z danego promienia.
Kalkulator przyspieszenia grawitacyjnego
Natężenie pola grawitacyjnego z masy i odległości.
Kalkulator siły grawitacji
Siła grawitacji między dwiema masami w zadanej odległości.

Wszystkie kalkulatory fizyczne

Najczęściej zadawane pytania

Ile v₁ przy Ziemi i r = 6371 km?

7910 m/s, czyli 7,91 km/s. Na LEO przy 6771 km to 7,67 km/s.

Czy v₁ zależy od masy satelity?

Nie. Masa satelity się skraca. Zostaje √(GM/r).

Jak to łączy się z a dośrodkowym?

Na orbicie a = v₁²/r = GM/r². To to samo g, tylko zapisane przez prędkość.

Czy da się tak lecieć tuż nad powierzchnią?

Wzór tak, atmosfera i góry nie. Realne orbity są wyżej, stąd 7,67 km/s na LEO, nie 7,91.

Jak dostać v₂?

v₂ = v₁√2. Przy 7,91 km/s wynik wynosi 11,19 km/s. Osobna strona liczy √(2GM/r).

Ile v₁ na orbicie Księżyca, r ≈ 1837 km?

M ≈ 7,35×10²² kg daje około 1,63 km/s. Mars przy powierzchni to około 3,55 km/s.

Czy mogę wpisać samo GM?

Karta chce G, M i r osobno. Iloczyn i tak powstaje w środku. Dzięki temu zmienisz G albo M.

Ile v₁ Ziemi wokół Słońca?

M_☉ ≈ 1,989×10³⁰ kg, r ≈ 1,496×10¹¹ m, v₁ ≈ 29,8 km/s. To skala, nie dokładna elipsa.

Czy wykres v₁(r) maleje?

Tak. Przy stałym M większe r daje mniejszą v₁, jak 1/√r.

Jak powiązać z siłą?

F = GMm/r² = m v₁²/r. Siła grawitacji i siła dośrodkowa to na okręgu ta sama para.

Źródła wiedzy

Wzór jest szkolny. Jednostki bierzemy z SI; GUM i BIPM opisują miary, nie Twój wynik.

Strona zaktualizowana w 2026.