Przykład 1
v₂ ≈ 11.2 km/s.
Kalkulator drugiej prędkości kosmicznej
Podaj masę i odległość od środka. Dostaniesz minimalną prędkość ucieczki. Ziemia i r = 6371 km to 11,19 km/s, czyli v₁√2 przy v₁ = 7,91 km/s.
Orbita kołowa: pierwsza prędkość kosmiczna (v₂ = v₁√2). Pole: g = GM/r². Tor kołowy: a = v²/r. Siła: F = GMm/r².
Wynik
Stała G (N·m²/kg², opcjonalnie), Masa M (kg) i Odległość r (m). Wynik pojawi się tutaj.
Jak to działa
Druga prędkość kosmiczna to próg, przy którym energia mechaniczna przestaje być ujemna. Z ½mv² − GMm/r ≥ 0 dostajesz v₂ = √(2GM/r). To dokładnie v₁√2, bo v₁ = √(GM/r). √2 ≈ 1,414, więc ucieczka jest o 41% szybsza niż okrąg.
Przy powierzchni Ziemi te same M i r co przy v₁: 5,972×10²⁴ kg i 6,371×10⁶ m. 2GM/r = 1,251×10⁸, pierwiastek to 11 186 m/s, czyli 11,19 km/s. Szkolne 11,2 km/s jest zaokrągleniem. Tor przy dokładnie v₂ jest parabolą.
Wyżej próg spada. Na LEO r = 6,771×10⁶ m, v₂ ≈ 10,85 km/s. Na geosynchronicznej r ≈ 4,216×10⁷ m wychodzi około 4,35 km/s. Start z Ziemi i tak musi przejść przez atmosferę i studnię po drodze.
Masa pocisku się skraca. Kierunek wzór pomija: daje wartość. Realny start korzysta z obrotu Ziemi i unika gęstego powietrza. Poniżej v₂ ciało wraca po elipsie albo spada, o ile nie ma napędu.
M i r muszą być dodatnie. Puste G = 6.67430×10⁻¹¹. W notatce wynikowej karta przypomina v₂ = v₁√2 i podaje też v₁ dla tych samych danych. Wynik jest w m/s.
Księżyc przy powierzchni: v₂ ≈ 2,38 km/s. Mars około 5,03 km/s. Z układu Słońce-Ziemia (skala r = 1 au) próg ucieczki od Słońca jest rzędu 42 km/s. Osobna strona liczy sam okrąg v₁.
Jak korzystać
- Pole G zostaw puste, albo wpisz stałą z zadania.
- Wpisz M w kilogramach, na przykład 5.972e24.
- Wpisz r od środka w metrach, na przykład 6371000.
- Kliknij Oblicz. Ziemia i 6371 km dają 11,19 km/s. Sprawdź, że to 7,91 × √2.
- Sam okrąg liczysz obok jako v₁ = √(GM/r). Tu zostaje ucieczka.
Wzór
v2 = √(2GM / r)
Związek z orbitą kołową: v2 = v1√2, gdzie v1 = √(GM/r).
Litery we wzorze v₂ = √(2GM/r)
Próg ucieczki: v₂ = √(2GM/r) = v₁√2. Te same M i r co przy 7,91 km/s dają 11,19 km/s, szkolne 11,2.
- v₂
- Minimalna prędkość ucieczki. 2GM/r = 1,251×10⁸, pierwiastek 11186 m/s, czyli 11,19 km/s.
- G
- Znowu 6.67430×10⁻¹¹ w opcji. Czynnik 2 pod pierwiastkiem odróżnia v₂ od v₁ na orbicie kołowej.
- M
- Masa 5,972×10²⁴ kg. √2 ≈ 1,414, więc ucieczka jest o 41% szybsza niż 7,91 km/s.
- r
- Odległość od środka, 6,371×10⁶ m przy powierzchni. To start ucieczki, nie promień ISS z v₁ = 7,67 km/s.
Przykłady z życia
Przykład 2
r ≈ 6771000 m.
Przykład 3
M ≈ 7,35e+22 kg, r ≈ 1737000 m.
Przykład 4
M ≈ 6,39e+23 kg, r ≈ 3390000 m.
Przykład 5
r = 12742000 m.
Przykład 6
r ≈ 42164000 m.
Przykład 7
ucieczka z układu Słońce i Ziemia (skala).
Przykład 8
M ≈ 1,9e+27 kg, r ≈ 69911000 m.
Przykład 9
G = 6.67e-11, Ziemia, powierzchnia.
Przykład 10
r = 6800000 m.
Propozycje użycia
- Szybkie v₂ dla Ziemi i innych ciał.
- Sprawdzenie tożsamości v₂ = v₁√2 na tych samych M i r.
Najczęściej zadawane pytania
Ile v₂ przy Ziemi i r = 6371 km?
11 186 m/s, czyli 11,19 km/s. Szkoła często pisze 11,2 km/s.
Dlaczego v₂ = v₁√2?
Bo v₁² = GM/r, a v₂² = 2GM/r. Iloraz to √2 ≈ 1,414. Z 7,91 km/s robi się 11,19 km/s.
Czym ucieczka różni się od orbity?
v₁ trzyma okrąg (energia ujemna). v₂ pozwala odejść w nieskończoność (energia zero). Powyżej v₂ tor jest hiperbolą.
Czy v₂ zależy od masy pocisku?
Nie. Masa testowa się skraca, tak jak przy v₁ i przy g.
Ile v₂ na LEO, r = 6771 km?
Około 10,85 km/s. Im dalej startujesz, tym niższy próg.
Czy kierunek ma znaczenie?
Wzór daje wartość. Realny start uwzględnia obrót Ziemi i atmosferę.
Jakie v₂ ma Księżyc?
Około 2,38 km/s przy r ≈ 1737 km. Mars przy powierzchni to około 5,03 km/s.
Jak wygląda tor przy dokładnie v₂?
Parabola, energia zero. Powyżej: hiperbola. Poniżej: związana orbita albo spadek.
Czy mogę zmienić G?
Tak. Wpisz G albo zostaw puste na 6.67430×10⁻¹¹.
Gdzie liczę sam okrąg?
Na stronie pierwszej prędkości. Te same M i r, wzór bez dwójki pod pierwiastkiem.