Kalkulator momentu pędu

Definicja momentu pędu: od punktu do bryły

Moment pędu punktu materialnego względem wybranego punktu odniesienia to iloczyn wektorowy jego wektora położenia i pędu: L = r × p = r × m·v. Jego wartość wynosi r·m·v·sin φ, gdzie φ jest kątem między r i v; dla ruchu po okręgu φ = 90°, więc L = m·v·r = m·r²·ω. Wektor L jest prostopadły do płaszczyzny ruchu i wskazuje kierunek osi obrotu zgodnie z regułą prawej dłoni.

Dla bryły sztywnej sumujemy momenty pędu wszystkich jej punktów. Gdy bryła obraca się wokół osi symetrii, każdy punkt wnosi mᵢrᵢ²ω w tym samym kierunku, a suma daje L = (Σmᵢrᵢ²)·ω = I·ω. Jednostka kg·m²/s jest tożsama z J·s — tą samą, w której wyraża się stała Plancka h = 6,626·10⁻³⁴ J·s, elementarny kwant momentu pędu w fizyce atomowej.

Rys historyczny: Kepler, Euler, Rankine i Noether

Zasada zachowania momentu pędu kryje się już w drugim prawie Keplera (1609): promień wodzący planety zakreśla równe pola w równych czasach, co jest równoważne stałości L = m·r²·ω na orbicie. Newton wyprowadził to prawo w Principiach (1687) dla dowolnej siły centralnej. Leonhard Euler w latach 1750–1765 sformułował ogólne równania ruchu bryły sztywnej, w których pochodna momentu pędu równa się momentowi siły, i wprowadził pojęcie momentu bezwładności.

Sam termin moment of momentum („moment pędu”) upowszechnił William Rankine w Manual of Applied Mechanics (1858); określenie angular momentum pojawiło się nieco później. Głębsze uzasadnienie zasady zachowania dała Emmy Noether w 1918 roku: każda ciągła symetria praw fizyki odpowiada wielkości zachowanej, a zachowanie momentu pędu wynika z niezmienniczości praw względem obrotów przestrzeni.

Wyprowadzenie L = I·ω i związek z energią

Krok 1. Punkt o masie mᵢ w odległości rᵢ od osi porusza się z prędkością vᵢ = ω·rᵢ, prostopadłą do promienia. Jego moment pędu względem osi wynosi Lᵢ = rᵢ·mᵢ·vᵢ = mᵢ·rᵢ²·ω. Krok 2. Sumujemy po wszystkich punktach bryły: L = Σmᵢrᵢ²·ω = ω·Σmᵢrᵢ². Suma Σmᵢrᵢ² to moment bezwładności I, więc L = I·ω.

Krok 3. Energia kinetyczna obrotu wynosi E = ½Iω²; podstawiając ω = L/I, otrzymujemy E = L²/(2I) — przy stałym L energia rośnie, gdy I maleje. Krok 4. Dla I = 2 kg·m² i ω = 5 rad/s: L = 10 kg·m²/s, E = ½·2·25 = 25 J. Krok 5. Druga zasada dynamiki dla obrotu, M = dL/dt, mówi, że zatrzymanie tej bryły w czasie 1 s wymaga średniego momentu siły 10 N·m, a w czasie 0,1 s — 100 N·m.

Zasada zachowania momentu pędu

Jeśli wypadkowy zewnętrzny moment siły działający na układ jest zerowy, to jego całkowity moment pędu pozostaje stały: I₁ω₁ = I₂ω₂. Stąd piruet łyżwiarza: przyciągając ramiona, zmniejsza I z około 3 do 1 kg·m², więc ω rośnie trzykrotnie, z 12,6 do 37,7 rad/s. Ten sam mechanizm przyspiesza obrót skoczka do wody w pozycji skulonej, gwiazdy neutronowej po zapadnięciu się jądra gwiazdy (okres obrotu rzędu milisekund) i kota, który w locie zmienia orientację bez zewnętrznego momentu siły, przeciwstawnie obracając przód i tył ciała.

Zachowanie momentu pędu tłumaczy też stabilność żyroskopu i koła rowerowego: wektor L dąży do zachowania kierunku w przestrzeni, a zewnętrzny moment siły — na przykład od ciężaru — nie przewraca osi, lecz powoduje jej precesję z prędkością kątową Ω = M/L. W układzie Ziemia–Księżyc pływy przenoszą moment pędu z obrotu Ziemi na orbitę Księżyca: doba wydłuża się o około 2 ms na stulecie, a Księżyc oddala się o 3,8 cm rocznie, przy czym suma obu momentów pędu pozostaje stała.

Założenia: oś główna, bryła sztywna, L a E

Skalarny wzór L = I·ω jest ścisły, gdy bryła obraca się wokół jednej ze swoich osi głównych — na przykład osi symetrii koła, walca czy kuli. Dla obrotu wokół osi dowolnej moment pędu jest wektorem L = ηω, gdzie Î jest tensorem bezwładności, i w ogólności nie jest równoległy do ω; objawia się to drganiami niewyważonego koła i koniecznością wyważania wirników. Kalkulator zakłada oś główną i bryłę sztywną o stałym I.

Warto odróżniać moment pędu od energii obrotu. Oba zależą od I i ω, ale L = I·ω jest liniowe w ω, ma jednostkę kg·m²/s i jest wektorem, a E = ½Iω² jest kwadratowe, ma jednostkę dżul i jest skalarem. Dwa koła o tym samym L mogą mieć różne energie: przy stałym L energia wynosi L²/(2I), więc koło o mniejszym I ma więcej energii. Panel wyniku pokazuje obie wielkości obok siebie, żeby ta różnica była widoczna.

Jednostki, rzędy wielkości i zastosowania

Jednostką SI momentu pędu jest kg·m²/s; identyczne wymiarowo są J·s i N·m·s, a w jednostkach US lb·ft²/s (1 kg·m²/s = 23,73 lb·ft²/s). Kalkulator pokazuje kg·m²/s i J·s, a po przełączeniu jednostek lb·ft²/s. Rzędy wielkości: talerz dysku twardego około 0,02 kg·m²/s, koło rowerowe 2–3 kg·m²/s, łyżwiarz w piruecie 30–40 kg·m²/s, wirnik śmigłowca rzędu 10⁵ kg·m²/s, Ziemia wokół własnej osi 5,9·10³³ kg·m²/s, Księżyc na orbicie 2,9·10³⁴ kg·m²/s — pięć razy więcej niż obrót Ziemi.

W technice moment pędu wirnika decyduje o pracy żyroskopów nawigacyjnych, kół reakcyjnych w satelitach (zmiana ich ω obraca satelitę bez paliwa) i o momentach reakcji w śmigłowcach, którym przeciwdziała śmigło ogonowe. W fizyce atomowej moment pędu jest skwantowany w jednostkach ħ = h/2π = 1,055·10⁻³⁴ J·s — to samo kg·m²/s, które wyświetla ten kalkulator, tyle że trzydzieści cztery rzędy wielkości mniejsze niż w przykładzie z kołem rowerowym.

Źródła

Definicja, wyprowadzenie i zastosowania pochodzą z podręczników mechaniki i źródeł historycznych: D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, Podstawy fizyki, t. 1, rozdział o toczeniu, momencie siły i momencie pędu, PWN; H. D. Young, R. A. Freedman, University Physics, rozdział „Dynamics of Rotational Motion” (angular momentum, conservation, gyroscopes); R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands, Feynmana wykłady z fizyki, t. I, rozdziały 18–20 (obroty, moment pędu, żyroskop); L. Euler, Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum, 1765; W. J. M. Rankine, A Manual of Applied Mechanics, 1858; E. Noether, „Invariante Variationsprobleme”, Nachrichten der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, 1918; J. Kepler, Astronomia nova, 1609; BIPM, broszura SI, 9. wydanie. Strona ma charakter edukacyjny.