Rzut pionowy

Rzucasz piłkę prosto w górę z ręki. Przez krótką chwilę leci coraz wolniej, na szczycie prawie staje w miejscu, a potem spada z powrotem. To właśnie rzut pionowy: ruch w jednej osi pod stałym przyspieszeniem grawitacyjnym.

Na starcie nadajesz prędkość v₀ w górę. Potem w tym modelu działa już tylko ciężar. Opór powietrza pomijamy, więc przyspieszenie ma stałą wartość g = 9,81 m/s² i stały zwrot w dół. Z tego policzysz wysokość maksymalną, czasy i prędkość w dowolnej chwili.

Wybierz oś. Najwygodniej: oś y w górę, y = 0 na poziomie startu. Wtedy a_y = -g, a przy rzucie w górę v_y0 = +v₀. Równania ruchu jednostajnie zmiennego stają się:

v_y(t) = v₀ - g·t

y(t) = v₀·t - ½·g·t²

Jednostki trzymaj spójne: prędkość w m/s, czas w sekundach, wysokość w metrach, g w m/s². Jeśli prędkość masz w km/h, podziel przez 3,6. Przykład: 36 km/h to dokładnie 10 m/s.

Na szczycie prędkość chwilowa spada do zera: v_y = 0. Ze wzoru bez czasu, v² = v₀² - 2·g·H, dostajesz klasyczny wynik:

H_max = v₀² / (2g)

Czas wznoszenia wynika z tego samego warunku. Z v₀ - g·t_up = 0 masz:

t_up = v₀ / g

Pierwsza intuicja liczbowa: dla v₀ = 10 m/s i g = 9,81 m/s² wychodzi H_max ≈ 5,10 m, t_up ≈ 1,02 s, a cały lot w górę i z powrotem na ten sam poziom ≈ 2,04 s. Te same liczby są w przykładzie na dole strony: policz ręcznie, potem sprawdź w kalkulatorze rzutu pionowego.

Druga intuicja: podwój v₀, a H_max rośnie czterokrotnie, bo we wzorze jest v₀². Przy v₀ = 20 m/s i tym samym g dostajesz H_max ≈ 20,4 m, nie „około dziesięciu metrów”. Czas wznoszenia rośnie tylko dwukrotnie (t_up ≈ 2,04 s), więc wysokość „boli” mocniej niż czas.

Jeśli start i lądowanie są na tej samej wysokości, lot w górę i w dół jest symetryczny. Cały czas lotu to T = 2·t_up = 2·v₀/g. Przy powrocie prędkość ma tę samą wartość co na starcie, tylko zwrot w dół. To skutek stałego g i braku oporu, nie szczególnej własności piłki.

Stan w chwili t liczysz wprost z równań: wysokość y(t) i prędkość v(t). Po szczycie v jest ujemne (przy osi w górę), ale wysokość nadal może być dodatnia. W zadaniu pilnuj znaków albo opisuj kierunek słownie, żeby nie zgubić zwrotu.

Ten sam H_max widać w energii. Bez oporu Em = Ek + Ep jest stała. Na starcie (y = 0): Em = ½·m·v₀². Na szczycie: Em = m·g·H_max. Stąd znowu H_max = v₀²/(2g). Energia dobrze sprawdza wysokość, ale czasu z samego bilansu nie dostaniesz. Policz startową Ek w energii kinetycznej i Ep na szczycie w energii potencjalnej.

Spadek swobodny to granica rzutu pionowego przy v₀ = 0: nie ma fazy wznoszenia, jest tylko droga w dół h = ½·g·t² oraz v = g·t. Jeśli treść mówi „upuść”, nie dokładaj fikcyjnego H_max w górę. Jeśli mówi „rzuć w dół z prędkością v₀”, składowa startowa jest zgodna z g i droga rośnie szybciej niż przy samym upuszczeniu. Do upuszczenia użyj spadku swobodnego.

Gdy rzucasz z balkonu w górę, a lądujesz na ziemi poniżej startu, klasyczne T = 2·v₀/g już nie obowiązuje. Wtedy rozwiązujesz równanie położenia na poziom lądowania, z jawnym h₀. To ten sam formalizm, tylko inny warunek końca.

Częsty błąd wygląda tak: „na szczycie prędkość jest zero, więc i przyspieszenie jest zero”. Brzmi przekonująco, bo piłka na chwilę „stoi”. Ale prędkość chwilowa to nie to samo co przyczyna ruchu. g nadal działa w dół, więc tuż po szczycie ciało znowu nabiera prędkości. Zerowa jest v, nie a.

Inne pułapki: myślenie, że masa wpływa na H_max (w modelu bez oporu m się skraca), albo mylenie H_max z zasięgiem poziomym, gdy w zadaniu w ogóle nie ma osi x. Bez oporu czas w górę i w dół na ten sam poziom są równe; intuicja „w dół jest szybciej” pochodzi z oporu albo z innego poziomu lądowania.

Intuicyjnie: g zabiera z prędkości ok. 9,81 m/s² co sekundę. Po czasie v₀/g kończy się zapas w górę. W drodze powrotnej ten sam g oddaje prędkość. Dopóki nie ma wiatru i oporu, historia jest symetryczna.

Na wykresie v(t) jest prostą o nachyleniu -g, a y(t) jest parabolą. Szczyt to miejsce, w którym prosta v(t) przecina zero. Pole pod wykresem v(t) w fazie wznoszenia to H_max. Ta geometria pomaga, gdy zapomnisz wzór, ale pamiętasz kształt ruchu jednostajnie zmiennego.

Model przestaje wystarczać przy silnym oporze, lekkim obiekcie i dużym v₀, albo gdy lądowanie nie jest na poziomie startu, a Ty nadal forsujesz T = 2·v₀/g. Wtedy wzór na H_max daje raczej górne oszacowanie. Do codziennych zadań z piłką i skromnym v₀ stałe g w zupełności wystarczy.

Przed rachunkiem sprawdź kolejno: (1) czy lądowanie jest na poziomie startu, (2) czy v₀ jest w górę, w dół, czy równe zero, (3) czy treść każe g = 9,81 m/s² czy 10, (4) czy jednostki są zgodne z wyborem w nagłówku strony, (5) czy wynik ma sens (przy 10 m/s wysokość kilku metrów, nie kilometrów). Potem sprawdź wynik w kalkulatorze.

Gdy pojawi się składowa pozioma, pionowa część lotu nadal rządzi się tymi samymi równaniami. Rzut pionowy jest więc nie tylko osobnym zadaniem, lecz też „modułem y” w rzucie ukośnym. Dlatego warto umieć H_max i t_up na pamięć roboczą. Kolejny temat w serii to rzut poziomy.