Rzut pionowy, poziomy i ukośny: który model wybrać?

Rzucasz piłkę prosto w górę, zrzucasz kamień z mostu albo kopiesz piłkę pod kątem. W każdym przypadku w prostym modelu działa to samo: stałe g w dół i brak oporu powietrza. Różnią się tylko warunki startu, a od nich zależy, którego wzoru i kalkulatora użyć.

Słowo „rzut” oznacza tu ruch pod stałą grawitacją. Przyspieszenie ma tylko składową pionową o wartości g = 9,81 m/s² skierowaną w dół. W poziomie, jeśli nie ma innych sił, prędkość się nie zmienia. To wspólna baza trzech modeli poniżej.

Trzy modele to nie „inna fizyka”. Rzut pionowy: v₀ tylko w pionie. Rzut poziomy: start z wysokości h z v₀ tylko w poziomie. Rzut ukośny: v₀ pod kątem α, więc od razu masz v_x = v₀ cos α i v_y = v₀ sin α.

Intuicja wspólna: ruch w x i w y są niezależne. W x: jednostajny (albo spoczynek). W y: jednostajnie przyspieszony z a = -g przy osi w górę. Z tych klocków składa się cała tabela na dole strony.

Rzut pionowy w górę: na szczycie v = 0, więc z v² = v₀² - 2gH dostajesz:

H_max = v₀² / (2g)

Czas wznoszenia to t_up = v₀/g. Powrót na tę samą wysokość trwa tyle samo, więc cały lot góra-dół to 2·t_up = 2·v₀/g. Zasięgu poziomego tu nie ma: oś x nie pracuje.

Mini przykład liczbowy, ten sam we wszystkich trzech historiach: v₀ = 10 m/s, g = 9,81 m/s². W pionie H_max ≈ 5,1 m. Czas wznoszenia ≈ 1,02 s, a lot w górę i z powrotem ≈ 2,04 s. Te same dane są w zadaniu na dole strony.

Rzut poziomy startuje z krawędzi, dachu albo mostu. Czas lotu bierzesz ze spadku w pionie: przy v_y = 0 na starcie masz h = ½·g·t², stąd:

t = √(2h/g)

Zasięg w poziomie to Z = v₀·t, bo v_x = v₀ = const. Najwyższy punkt względem ziemi to zwykle sam start: nie ma wznoszenia „nad dach”. Dla porównania: przy v₀ = 10 m/s i h ≈ 5,1 m czas lotu to √(2·5,1/9,81) ≈ 1,02 s, a Z ≈ 10,2 m. Jedna prędkość, inna historia niż w samym pionie.

Drugi mikrorachunek pomaga złapać rząd wielkości. Z dachu h = 20 m przy v₀ = 8 m/s czas lotu ≈ √(2·20/9,81) ≈ 2,02 s, więc Z ≈ 16,2 m. Jeśli w głowie „wychodzi” kilkaset metrów przy spokojnym rzucie z dachu, prawie na pewno pomyliłeś jednostki prędkości.

Rzut ukośny na płaskim terenie (start i lądowanie na tej samej wysokości) ma klasyczne wzory:

Z = v₀² · sin(2α) / g

H_max = v₀² · sin²α / (2g)

Czas lotu to 2·v₀·sin α / g. Maksimum zasięgu przy braku oporu wypada przy α = 45°. Przy tym samym v₀ = 10 m/s pod 45° masz Z = 100/9,81 ≈ 10,2 m oraz H_max = 50/19,62 ≈ 2,55 m. Porównaj z pionem (H_max ≈ 5,1 m, Z = 0) i z poziomem z h ≈ 5,1 m (Z ≈ 10,2 m, bez wznoszenia nad start). Tabela poniżej trzyma te różnice w jednym miejscu.

Gdy startujesz z wieży (h₀ > 0), wzór „płaski” na Z przestaje wystarczać. Musisz rozwiązać ruch w pionie do y = 0 z niezerowym h₀, dostać czas lotu, potem Z = v_x·t. Do tego służy rzut ukośny pełny, nie strona licząca tylko Z.

Przykład intuicyjny z wieżą: v₀ = 14 m/s pod 30°, h₀ = 12 m. Składowe to v_x ≈ 12,1 m/s i v_y ≈ 7,0 m/s. H_max nad ziemią to nie sam „płaski” wierzchołek, tylko h₀ plus wznoszenie v_y²/(2g) ≈ 12 m + 2,5 m. Zasięg liczysz dopiero po czasie z równania y(t) = 0, nie ze wzoru Z = v₀² sin(2α)/g.

Jednostki: prędkość w m/s, wysokość w metrach, czas w sekundach, g w m/s². Kąt α w treści zwykle w stopniach. Przelicz km/h na m/s (dziel przez 3,6) przed podstawieniem. Jeśli wpiszesz 36 km/h jakby to były m/s, wynik będzie bez sensu: to jest 10 m/s, nie trzydzieści sześć.

Typowe błędy: (1) użyć Z = v₀² sin(2α)/g przy h₀ ≠ 0, (2) pomylić H_max z Z, (3) wziąć czas lotu z samego wznoszenia zamiast z całego spadku, (4) zapomnieć, że w rzucie poziomym na starcie nie ma składowej pionowej.

Dramatyczny wariant tej pomyłki: ktoś bierze v₀ = 20 m/s pod 45° z balkonu h₀ = 15 m i liczy Z = 400/9,81 ≈ 40,8 m ze wzoru płaskiego. Tor jednak ląduje niżej niż start, więc czas lotu jest dłuższy niż 2·v₀·sinα/g, a rzeczywisty zasięg wychodzi wyraźnie większy. Płaski wzór nie „domyka” balkonu.

Który kalkulator: pion → rzut pionowy; dach lub most z v poziomym → rzut poziomy; głównie Z na płaskim → zasięg rzutu ukośnego; głównie H_max → wysokość rzutu ukośnego; h₀, tor, składowe → rzut ukośny pełny.

Rzut pionowy to granica v_x = 0. Rzut poziomy to granica v_y0 = 0 przy y₀ = h > 0. Rzut ukośny na płaskim to y₀ = 0 i lądowanie znów na y = 0. Pełny tor to dowolne h₀. Nazwanie granicy chroni przed złym wzorem.

Model ma limity. Opór powietrza skraca lot i psuje symetrię paraboli, zwłaszcza przy lekkiej piłce i dużym v₀. Wiatr dodaje składową, której tabela nie zna. Lądowanie na zboczu to nie y = 0 na płaskim. Wtedy wiersze poniżej dają tylko szkic albo zły wybór.

Przed rachunkiem sprawdź kolejno: (1) czy v₀ jest w pionie, w poziomie, czy pod kątem, (2) czy start i lądowanie są na tej samej wysokości, (3) czy treść każe g = 9,81 m/s² czy 10 m/s², (4) czy jednostki są zgodne z wyborem w nagłówku strony, (5) czy wynik ma sens (przy 10 m/s wysokości i zasięgi rzędu kilku metrów, nie kilometrów).

Szczegóły i przykłady do każdego modelu są w częściach 4-6 serii Fizyka bez tajemnic. Ta strona jest porównaniem: najpierw warunki startu, potem wiersz tabeli, potem kalkulator. Mapę całego tematu ruchu znajdziesz w kinematyce od zera.