Rzut ukośny

Na boisku wypuszczasz piłkę pod kątem do poziomu. Przez chwilę wznosi się, potem spada i ląduje dalej niż punkt startu. To rzut ukośny: ruch w płaszczyźnie pod stałym g, z prędkością początkową pod kątem α.

Ciało dostaje prędkość v₀ pod kątem α do poziomu. W tym modelu nie ma oporu powietrza, więc tor jest parabolą. Z tego jednego obrazu wynikają zasięg, wysokość maksymalna, czas lotu i stan w dowolnej chwili.

Najpierw rozłóż v₀ na składowe:

v_x = v₀·cos α (stałe)

v_y0 = v₀·sin α

Przyspieszenie: a_x = 0, a_y = -g. Położenie przy starcie na wysokości h₀ nad poziomem lądowania: x(t) = (v₀·cos α)·t oraz y(t) = h₀ + (v₀·sin α)·t - ½·g·t². Kąt α mierz od poziomu, nie od pionu.

Na płaskim terenie, h₀ = 0, lądowanie y = 0 daje czas lotu:

T = 2·v_y0/g = 2·v₀·sin α / g

Zasięg i wysokość maksymalna nad startem mają kanoniczną postać:

Z = v₀²·sin(2α) / g

H_max = v₀²·sin²α / (2g)

To te same idee co w rzucie pionowym, tylko „pracuje” składowa pionowa. sin(2α) ma maksimum 1 przy α = 45°, więc na płaskim Z_max = v₀²/g. Pierwsza intuicja liczbowa: przy v₀ = 20 m/s, α = 45° i g = 9,81 m/s² wychodzi Z ≈ 40,8 m oraz H_max ≈ 10,2 m. To szybki check w kalkulatorze zasięgu i w rzucie ukośnym pełnym.

Druga intuicja: ten sam v₀ = 20 m/s, ale α = 30°. Wtedy H_max = v₀²·sin²30°/(2g) = 400·(1/4)/19,62 ≈ 5,10 m. Zasięg na płaskim jest taki sam jak przy 60°, bo sin(60°) = sin(120°), ale tor jest niższy i „płaskszy” niż przy 45°. Policz wysokość w kalkulatorze H_max.

Jednostki: v₀ w m/s, α w stopniach (w kalkulatorze zwykle stopnie), g w m/s², Z i H_max w metrach. Jeśli prędkość masz w km/h, podziel przez 3,6 zanim wstawisz do wzoru. 72 km/h to 20 m/s.

Gdy h₀ > 0 (wieża, dach), klasyczny wzór Z = v₀²·sin(2α)/g przestaje obowiązywać, bo czas lotu nie jest już 2·v_y0/g. Musisz rozwiązać równanie kwadratowe y(t) = 0 na dodatni pierwiastek t, potem Z = v_x·t. H_max nad ziemią to h₀ + v_y0²/(2g), o ile v_y0 > 0. Właśnie po to jest pełny model, a nie tylko strona „głównie Z”.

Granice modeli pomagają wybrać narzędzie. α → 0° przy h₀ > 0 przechodzi w rzut poziomy: t → √(2h₀/g). α → 90° przy h₀ = 0 to rzut pionowy: Z → 0, H_max → v₀²/(2g). Świadome wybieranie modelu oszczędza pół strony algebraicznych pomyłek.

Intuicja składowych: poziom jedzie jednostajnie i buduje Z, pion rządzi czasem i H_max. Kąt 45° na płaskim to najlepszy kompromis między długim czasem w powietrzu a dużą v_x. Przy starcie z wieży optymalny kąt jest zwykle mniejszy niż 45°, bo część zasięgu „kupujesz” wysokością h₀. Dlatego z dachu nie kopiuj automatycznie kąta z boiska.

Częsty błąd wygląda tak: „rzucam z dachu, więc biorę Z = v₀²·sin(2α)/g i mam zasięg”. Wzór wygląda znajomo, ale zakłada powrót na poziom startu. Z dachu lot trwa dłużej, więc realny Z jest większy, a Ty potrzebujesz pierwiastka z y(t) = 0. Inne pułapki: mierzenie α od pionu zamiast od poziomu oraz przekonanie, że przy 60° zasięg na płaskim jest większy niż przy 30°.

Energia bez oporu sprawdza spójność: ½·m·v₀² + m·g·h₀ = ½·m·v² + m·g·y. Na szczycie v_y = 0, zostaje v_x i wysokość. Zasięgu z samego bilansu nie wyciągniesz: potrzebujesz czasu lotu z kinematyki.

Rozróżniaj trzy wysokości przy wieży. h₀ to start nad ziemią. H_rel = v_y0²/(2g) to przyrost nad startem. H_abs = h₀ + H_rel to szczyt nad ziemią. Zasięg Z liczy się do y = 0 na ziemi, więc miesza te poziomy przez czas lotu.

Równanie toru y(x) powstaje po wyeliminowaniu czasu: y = h₀ + x·tg α - (g·x²)/(2·v₀²·cos²α). Przydaje się, gdy znasz przeszkodę na danej odległości x i pytasz, czy tor przejdzie nad nią. Nadal zakładasz brak oporu i stałe g.

Przed rachunkiem zapisz v₀, α, h₀, g. Policz v_x i v_y0. Jeśli h₀ = 0, możesz użyć gotowych Z, H_max, T. Jeśli h₀ ≠ 0, ułóż y(t) = 0 i bierz fizyczny pierwiastek t > 0. Na końcu sprawdź limity: przy α = 45° rząd Z ~ v₀²/g.

Szybki sanity check na płaskim: przy α = 45° i v₀ = 20 m/s zasięg powinien być blisko 40,8 m. Jeśli wyjdzie kilka metrów albo kilka kilometrów, prawie na pewno pomyliłeś jednostki prędkości albo wstawiłeś kąt w radianach tam, gdzie kalkulator czeka na stopnie.

Gdy treść pyta tylko o H_max, nie musisz liczyć całego zasięgu. Wystarczy składowa pionowa i wzór jak w rzucie pionowym. Odwrotnie: sam bilans energii nie powie Ci, gdzie piłka wyląduje w poziomie. Do zasięgu Z zawsze wracasz przez czas lotu i stałą v_x.

Model przestaje wystarczać przy silnym oporze, rotacji piłki albo wietrze w poprzek. Wtedy parabola bez oporu daje raczej górne oszacowanie zasięgu. Do zadań z boiska i skromnym v₀ w zupełności wystarczy. Kolejny temat w serii to równia pochyła.

Zanim oddasz wynik, porównaj go z drugim torem: ten sam v₀, inny kąt. Jeśli przy 45° zasięg nie jest największy na płaskim albo przy 30° i 60° liczby Z się rozjeżdżają, wróć do składowych i do jednostek. Dobre porównanie dwóch kątów łapie błąd szybciej niż trzecie podstawienie tego samego wzoru.