Artykuł
Samochód rusza spod świateł, rower nabiera tempa, upuszczona piłka spada coraz szybciej. Przyspieszenie jest stałe, więc prędkość rośnie w równym tempie. Poniżej wzory na drogę i prędkość końcową.
Część 2 serii Fizyka bez tajemnic. Jeśli wolisz najpierw stałą prędkość, zajrzyj do ruchu jednostajnego. Kolejny temat to hamowanie.
W tym artykule: v₀ to prędkość początkowa, vₖ to prędkość końcowa, a to przyspieszenie, s to droga, t to czas. Zapis ½at² znaczy połowa razy a razy t do kwadratu.
Kiedy samochód rusza spod świateł, przez pierwsze sekundy jedzie wolno, a potem coraz szybciej. Nie osiąga od razu 90 km/h. To, jak szybko rośnie jego prędkość, nazywamy przyspieszeniem.
Przyspieszenie mówi o tym, o ile metrów na sekundę zwiększa się prędkość w każdej sekundzie. Jednostka m/s² wygląda dziwnie, ale sens jest prosty. Jeśli a = 2 m/s², to po 1 s jedziesz o 2 m/s szybciej niż na początku, po 2 s o 4 m/s szybciej, a po 3 s o 6 m/s szybciej, o ile przyspieszenie jest cały czas takie samo.Przyspieszenie mówi o tym, o ile stóp na sekundę zwiększa się prędkość w każdej sekundzie. Jednostka ft/s² wygląda dziwnie, ale sens jest prosty. Jeśli a = 2 m/s², to po 1 s jedziesz o 2 m/s szybciej niż na początku, po 2 s o 4 m/s szybciej, a po 3 s o 6 m/s szybciej, o ile przyspieszenie jest cały czas takie samo.
Najczęściej bierze się wygodny, uproszczony przypadek: ruch jednostajnie przyspieszony. Słowo „jednostajnie” nie oznacza tu stałej prędkości. Oznacza, że przyspieszenie jest stałe. Prędkość może rosnąć, byle rosła w równym tempie.
Ten model dobrze opisuje wiele krótkich sytuacji: ruszanie spod świateł, rozpędzanie roweru na krótkim odcinku albo pierwsze sekundy spadania z niewielkiej wysokości. Wzory są krótkie. Możesz je policzyć na kartce albo w kalkulatorze ruchu przyspieszonego.
Zanim przejdziemy do wzorów, potrzebne są trzy wielkości: prędkość początkowa v0 (z jaką prędkością zaczynasz odcinek), przyspieszenie a (jak szybko ta prędkość rośnie) oraz czas t (jak długo to trwa). Z nich policzysz drogę s i prędkość końcową vk.
Pierwszy wzór jest prosty. Przy stałym a prędkość końcowa to prędkość początkowa plus przyrost prędkości na sekundę pomnożony przez liczbę sekund:
vk = v0 + a·t
Jeśli ruszasz z postoju, v0 = 0 i zostaje vk = a·t. Dla a = 3,5 m/s² i t = 8 s wychodzi vk = 28 m/s, czyli około 100 km/h. To typowe tempo rozpędzania samochodu.
Drugi wzór dotyczy drogi. Pojawia się w nim ½at². Skąd ta połowa? Przy stałym przyspieszeniu prędkość rośnie równomiernie od v0 do vk. Do policzenia drogi bierze się więc średnią (v0 + vk)/2, a nie samą prędkość końcową. Droga to zawsze średnia prędkość pomnożona przez czas.
Po podstawieniu vk = v0 + a·t do tej średniej dostajemy:
s = v0·t + ½·a·t²
Gdy v0 = 0, wzór upraszcza się do s = ½·a·t². Dla a = 3,5 m/s² i t = 8 s mamy t² = 64, więc s = 0,5 · 3,5 · 64 = 112 m. To mniej więcej długość boiska piłkarskiego. Te same liczby są w przykładzie na dole strony: policz ręcznie, a potem sprawdź wynik w kalkulatorze.
Częsty błąd wygląda tak: „na końcu miałem 28 m/s, jechałem 8 s, więc droga to 28 · 8”. To za dużo. Przez większość czasu jechałeś wolniej niż na końcu, więc trzeba wziąć średnią, a nie prędkość końcową. Na wykresie prędkości w czasie jest to prosta rosnąca linia, a droga to pole pod tą linią (trójkąt albo trapez), a nie prostokąt o wysokości vk.
Przyspieszenie bierze się z sił. Druga zasada dynamiki Newtona ma postać F = m·a: wypadkowa siła równa się iloczynowi masy i przyspieszenia. Po przekształceniu dostajemy a = F/m, więc przy tej samej sile większa masa daje mniejsze przyspieszenie. Silnik popycha samochód do przodu, a tarcie i opór powietrza hamują. Na krótkim odcinku często przyjmujemy, że wypadkowa siła jest w przybliżeniu stała, więc a też jest stałe.
Nie mieszaj dwóch różnych pytań. Jeśli znasz tylko zmianę prędkości i czas, najpierw policz a w kalkulatorze przyspieszenia (a = Δv/t). Jeśli masz już a oraz v0 i t, użyj ruchu przyspieszonego, żeby obliczyć drogę i vk. Jeśli znasz masę i siłę, skorzystaj z drugiej zasady dynamiki F = m·a i wyznacz a = F/m.
Jednostki mają kluczowe znaczenie. Prędkość podajemy w m/s, czas w sekundach, przyspieszenie w m/s², drogę w metrach. Jeśli prędkość masz w km/h, podziel ją przez 3,6. Przykład: przyrost od 0 do 100 km/h to ≈ 27,8 m/s. Przy czasie 8 s wychodzi a ≈ 3,5 m/s². Dopiero to a wstawiasz do wzoru na drogę. Jeśli wpiszesz 100 tak, jakby to były m/s, wynik będzie kompletnie bez sensu.Jednostki mają kluczowe znaczenie. Prędkość podajemy w ft/s, czas w sekundach, przyspieszenie w ft/s², drogę w stopach (ft). Jeśli prędkość masz w mph, przelicz na ft/s (pomnóż przez ok. 1,467). Przykład: przyrost od 0 do 100 km/h to ≈ 27,8 m/s. Przy czasie 8 s wychodzi a ≈ 3,5 m/s². Dopiero to a wstawiasz do wzoru na drogę. Jeśli wpiszesz wartość w mph tak, jakby to były ft/s, wynik będzie kompletnie bez sensu.
Hamowanie to te same wzory, tylko prędkość maleje. Można mówić o ujemnym przyspieszeniu albo, jaśniej na początek, o dodatnim opóźnieniu. Gdy samochód ma się zatrzymać, wygodny jest wzór na drogę hamowania. Opisujemy to osobno w artykule o hamowaniu, żeby nie mieszać znaków, zanim dobrze zrozumiesz rozpędzanie.
Jest też wzór bez czasu: vk² = v0² + 2·a·s. Przydaje się, gdy znasz drogę i prędkości, a nie znasz czasu. To nie osobny dział fizyki. To ten sam stały a, tylko zapisany dla innych danych.
Model przestaje wystarczać, gdy przyspieszenie nie jest stałe: przy silnym wietrze, biegu przez błoto, oporze rosnącym z prędkością albo przy skręcie, gdy zmienia się kierunek ruchu. Wtedy ½at² to tylko przybliżenie albo zły wybór. Do codziennych szacunków przy ruszaniu i krótkim rozpędzaniu stałe a w zupełności wystarczy.
Na start sprawdź kolejno: (1) czy możesz uznać a za stałe, (2) czy jednostki są zgodne z wyborem w nagłówku strony, (3) czy v0 jest zerem, (4) którego wzoru potrzebujesz, na vk czy na s, (5) czy wynik ma sens (rower nie jedzie 300 m/s). Potem sprawdź rachunek w kalkulatorze.
Jeśli wracasz z artykułu o ruchu jednostajnym, porównaj wykresy. Przy stałej prędkości droga rośnie liniowo. Przy stałym przyspieszeniu droga rośnie coraz szybciej: im dłużej jedziesz, tym więcej metrów dokładają kolejne sekundy. Stąd właśnie kwadrat czasu w ½at².
Otwórz ruch jednostajnie przyspieszony. Wpisz prędkość początkową v0 (przy starcie z postoju wpisz 0), przyspieszenie a oraz czas t. Odczytaj drogę s i prędkość końcową vk.
Jeśli znasz tylko wartości „z v₁ do v₂ w czasie t”, najpierw policz a = (v₂ − v₁)/t w kalkulatorze przyspieszenia, a potem wróć tutaj z v0 = v₁. Nie licz drogi jako v₂·t.
Przyspieszenie uznajemy za stałe na liczonym odcinku. Ruch bierzemy po linii prostej albo patrzymy tylko na jeden kierunek. Liczymy w metrach, sekundach i m/s. Siły i masy nie są potrzebne, dopóki nie chcesz wiedzieć, skąd bierze się a.Przyspieszenie uznajemy za stałe na liczonym odcinku. Ruch bierzemy po linii prostej albo patrzymy tylko na jeden kierunek. Liczymy w stopach (ft), sekundach i ft/s. Siły i masy nie są potrzebne, dopóki nie chcesz wiedzieć, skąd bierze się a.
Gdy a wyraźnie się zmienia, gdy ważny jest skręt i zmiana kierunku, gdy opór powietrza mocno zależy od prędkości albo gdy liczysz całe hamowanie z czasem reakcji kierowcy. Wtedy lepiej użyć bardziej pasującego narzędzia, na przykład artykułu i kalkulatorów o hamowaniu, zamiast na siłę stosować ½at².
| Znasz | Liczysz | Wzór |
|---|---|---|
| v₀, a, t | s | s = v₀t + ½at² |
| v₀, a, t | vₖ | vₖ = v₀ + at |
| Δv, t | a | a = Δv/t (osobny kalkulator) |
| F, m | a | F = m·a → a = F/m → droga |
Samochód startuje z v₀ = 0 z przyspieszeniem a = 3,5 m/s² przez t = 8 s. Jaką drogę pokona i jaka będzie vₖ?
Kroki
Wynik: s = 112 m, vₖ = 28 m/s
Prędkość mówi, jak szybko pokonujesz drogę (np. 20 m/s). Przyspieszenie mówi, jak szybko ta prędkość się zmienia (np. o 2 m/s w każdej sekundzie). Możesz jechać szybko przy przyspieszeniu równym zeru: wystarczy stała setka na autostradzie.
Bo przez większość czasu jechałeś wolniej niż na końcu. Bierzemy średnią z prędkości początkowej i końcowej. Po podstawieniu vₖ = v₀ + at właśnie ta średnia daje we wzorze część ½at² obok v₀t.
Tylko gdy ruszasz z postoju, czyli v₀ = 0. Jeśli już miałeś prędkość i dopiero potem przyspieszałeś, dodaj jeszcze v₀·t. Pominięcie v₀ to częsty błąd.
Zamień 100 km/h na m/s: ≈ 27,8 m/s. Potem a ≈ 3,5 m/s². Tym a możesz policzyć drogę w tych 8 sekundach przy v₀ = 0.Zamień 100 km/h na ft/s: ≈ 27,8 m/s. Potem a ≈ 3,5 m/s². Tym a możesz policzyć drogę w tych 8 sekundach przy v₀ = 0.
Tak. Ujemne a oznacza, że w wybranym kierunku prędkość maleje, czyli hamujesz albo zwalniasz. Na początek często wygodniej mówić o dodatnim opóźnieniu i zajrzeć do artykułu o hamowaniu.
Z drugiej zasady dynamiki: F = m·a, stąd a = F/m. Dopiero to a, razem z czasem i v₀, daje drogę. Nie mnoż siły przez czas, żeby dostać metry albo stopy.
Gdy pytasz „ile wynosi a?”, użyj kalkulatora przyspieszenia. Gdy znasz już a (oraz v₀ i t) i chcesz drogę albo vₖ, użyj ruchu przyspieszonego. To dwa kolejne kroki tego samego rachunku.
Przy stałym a jest to prosta linia. Nachylenie tej linii to właśnie a. Pole pod linią od startu do chwili t to droga. Prostokąt o wysokości vₖ zawyża wynik, bo nie uwzględnia rozpędzania.
Tak, jeśli możesz uznać przyspieszenie za w przybliżeniu stałe na krótkim odcinku. Do windy z przyspieszeniem około 2 m/s² stosują się te same wzory, tylko w innej sytuacji.
Porównaj go z codziennym doświadczeniem. a ≈ 3 m/s²-4 m/s² przez kilka sekund daje prędkości samochodowe, a nie kosmiczne. Jeśli dla roweru wyjdzie setki m/s, prawie na pewno pomyliłeś jednostki (wpisałeś km/h jak m/s).Porównaj go z codziennym doświadczeniem. a ≈ 3 m/s²-4 m/s² przez kilka sekund daje prędkości samochodowe, a nie kosmiczne. Jeśli dla roweru wyjdą setki ft/s, prawie na pewno pomyliłeś jednostki (wpisałeś mph jak ft/s).