Kalkulator pola elipsy

Definicja

Elipsa o półosiach a i b (a > 0, b > 0) to krzywa stożkowa dana w układzie kanonicznym równaniem x²/a² + y²/b² = 1. Pole wnętrza tej elipsy wynosi A = π·a·b. Symbole a i b to odległości od środka do brzegu wzdłuż osi współrzędnych — połowy średnic wielkiej i małej (lub odwrotnie, gdy b > a). Kalkulator przyjmuje obie półosie i zwraca A.

Warunek a > 0, b > 0 gwarantuje dodatnie pole. Przy a = b elipsa jest okręgiem o promieniu a i A = πa². Pomylenie średnicy z półosią czterokrotnie zawyża wynik, bo obie długości wchodzą liniowo.

Kontekst historyczny i pojęciowy

Pole koła A = πρ² jest wynikiem Archimedesa (Measurement of a Circle): pole dysku równa się polu trójkąta o podstawie równej obwodowi i wysokości równej promieniowi. Elipsa powstaje z koła przez jednorodne „ściśnięcie” (przekształcenie liniowe o wyznaczniku stałym); skalar pola jest wtedy |det|, więc A_elipsy = π·a·b. W Elementach Euklidesa stożki i wyczerpywanie przygotowują geometrię krzywych stożkowych bez nowożytnej algebry.

Johannes Kepler w Astronomia nova (1609) sformułował, że orbity planet są elipsami ze Słońcem w jednym ognisku (I prawo). II prawo równych pól dotyczy prędkości arealnej względem ogniska — to inny obiekt niż zwykłe pole dysku eliptycznego πab. Ten kalkulator liczy wyłącznie A = πab dla płaskiej elipsy o półosiach a i b.

W zastosowaniach elipsa opisuje przekrój walca ściętego ukośnie, kształt soczewki w modelu 2D, orbitę w uproszczeniu keplerowskim oraz elipsę błędu w statystyce. Pojęciowo wzór liczy pole płaskie, nie obwód i nie powierzchnię elipsoidy trójwymiarowej.

Własności formalne

Dziedzina: a > 0, b > 0. Funkcja A(a, b) = πab jest rosnąca względem każdej półosi osobno. Homogeniczność: przy skalowaniu długości przez λ > 0 pole skaluje się jak λ². Symetria A(a, b) = A(b, a).

Ekscentryczność e = √(1 − (b_min/a_maj)²) przy a_maj ≥ b_min mierzy spłaszczenie: e = 0 dla koła, e → 1⁻ dla bardzo spłaszczonej elipsy. Pole nie zależy od e wprost — tylko od iloczynu ab. Prostokąt opisany na elipsie (boki 2a i 2b) ma pole 4ab, więc stosunek pola elipsy do tego prostokąta wynosi π/4.

Przy ustalonym a → b⁺ otrzymuje się A → πa² (koło). Przy b → 0⁺ zachodzi A → 0⁺.

Pełne wyprowadzenie

Krok 1. Koło jednostkowe x² + y² ≤ 1 ma pole π (Archimedes / definicja π przez pole dysku).

Krok 2. Przekształcenie afiniczne T(x, y) = (a x, b y) ma macierz diag(a, b) i |det T| = ab. Obrazy zbiorów mierzalnych skalują miarę 2D o czynnik ab, więc pole elipsy T(D) wynosi πab.

Krok 3 (całka). Z równania y = ±b√(1 − x²/a²) dla |x| ≤ a: A = 2 ∫_{-a}^{a} b√(1 − x²/a²) dx. Podstawienie x = a sin θ lub x = a cos θ daje A = πab.

Krok 4 (kontrola). Gdy a = b = r, A = πr². Gdy a = 10, b = 6, A = 60π ≈ 188,495559. Obliczenie: π · a · b.

Przypadki szczególne

Dla a = 10, b = 6: A = 60π ≈ 188,495559. Dla a = b = 5: A = 25π ≈ 78,539816. Dla a = 8, b = 3: A = 24π ≈ 75,398224. Dla a = 4, b = 1: A = 4π ≈ 12,566371 — wzór nie wymaga a ≈ b.

Jeśli użytkownik poda średnice D i d zamiast półosi, A = (π/4)·D·d przy D > 0, d > 0. Pomylenie średnicy z półosią jest najczęstszym błędem wejścia.

Uwagi numeryczne i obliczeniowe

Obliczenie π·a·b jest numerycznie stabilne dla typowych półosi dodatnich w zakresie arytmetyki zmiennoprzecinkowej. Wejście z a ≤ 0 lub b ≤ 0 jest odrzucane. Przecinek i kropka są równoważne. Kalkulator nie modeluje elipsy obróconej (osie nie pokrywają się z osiami układu) — wtedy potrzebna jest forma kwadratowa albo obrót współrzędnych przed podstawieniem a, b.

Kalkulator liczy A = π · a · b po sprawdzeniu a > 0 i b > 0. Przy a = 10 i b = 6 iloczyn półosi wynosi 60, więc A = 60π ≈ 188,495559 — ten sam wynik, który pokazuje panel i przykład na stronie. Kolejność pól a i b nie zmienia iloczynu; etykiety „półosie” podkreślają, że wprowadzasz połowy średnic, nie pełne średnice.

Obwód elipsy P = 4a E(e) (całka eliptyczna zupełna drugiego rodzaju) nie jest liczony. Przybliżenia Ramanujana i szeregi są poza zakresem tej strony. Ekscentryczność w panelu wyniku jest tylko komentarzem opisowym przy a ≠ b.

W mechanice i optyce elipsa pojawia się przy zwierciadłach eliptycznych (odbicia przez ogniska) i przy przekrojach rur. Moment bezwładności tarczy eliptycznej względem środka wymaga całkowania ρ³ — to nie jest pole. Ten kalkulator zwraca wyłącznie A = πab.

Pojęcia pokrewne i źródła

Pokrewne modele: pole koła, pole prostokąta, pierścień kołowy, wycinek koła. Pole elipsy nie jest polem elipsoidy (bryła) ani torusa.

Gdy a = b = r, wzór sprowadza się do A = πr² i zgadza się z kartą pola koła przy tym samym r. Elipsa nie jest tu liczona z mimośrodu e ani z całki numerycznej po łuku — wyłącznie z iloczynu półosi i π. Obwód elipsy (przybliżenia Ramanujana) jest na osobnej stronie i nie wchodzi do tego wyniku.

Źródła: Archimedes, Measurement of a Circle; Kepler, Astronomia nova (orbity eliptyczne); MathWorld — Ellipse; Wikipedia — Ellipse; NIST DLMF (π, całki eliptyczne dla obwodu — tu tylko kontekst). Kalkulator jest narzędziem edukacyjnym.