Kalkulator arcus tangens

Definicja

Arcus tangens, oznaczany arctan(x) albo atan(x), jest funkcją odwrotną do restriksji tangensa na odcinku, na którym tangens jest bijektywny. Funkcja tan θ = sin θ / cos θ jest określona na ℝ z wyłączeniem punktów (π/2) + kπ, okresowa z okresem π i nie jest injekcją globalną. Na otwartym odcinku (−π/2, π/2) funkcja tan jest ciągła i ściśle rosnąca od −∞ do +∞, zatem bijektywna na ℝ. Odwrotność tej restriksji to arctan : ℝ → (−π/2, π/2).

Zakres (−π/2, π/2) jest wartością główną. Jest to standard w NIST DLMF §4.23 oraz w Abramowitz & Stegun, rozdział 4. W stopniach zakres główny to (−90°, 90°). Asymptoty ±π/2 nie należą do obrazu: arctan(x) nigdy nie osiąga ±π/2 dla skończonego x. Kalkulator implementuje tę gałąź poprzez arctan w radianach.

Kontekst historyczny i pojęciowy

Arctan pojawia się naturalnie przy odzyskiwaniu kąta z nachylenia — w geometrii analitycznej, optyce i całkach wymiernych. Szereg potęgowy arctan(x) = Σ (−1)^n x^(2n+1)/(2n+1) dla |x| ≤ 1 (wzór Gregory–Leibniza przy x = 1 daje π/4) był historycznie ważnym narzędziem obliczania π. MathWorld opisuje Inverse Tangent z gałęzią rzeczywistą na całej osi i wartościami asymptotycznymi ±π/2.

W przeciwieństwie do arcsin i arccos, dziedzina arctan to cała oś rzeczywista: każdy skończony iloraz y/x (przy x ≠ 0) ma sensowny kąt nachylenia. Do rozróżnienia ćwiartek z pary (x, y) służy jednak dwuargumentowa funkcja atan2(y, x), której zakres to (−π, π]. Sam arctan(y/x) gubi informację o znaku mianownika.

Własności formalne

Dziedzina: x ∈ ℝ. Przeciwdziedzina: (−π/2, π/2). Funkcja arctan jest ciągła, ściśle rosnąca, nieparzysta: arctan(−x) = −arctan(x). Limity: lim_{x→+∞} arctan(x) = π/2, lim_{x→−∞} arctan(x) = −π/2. Wartości: arctan(0) = 0, arctan(1) = π/4, arctan(√3) = π/3.

Tożsamości: tan(arctan(x)) = x dla wszystkich rzeczywistych x; arctan(tan θ) = θ dla θ ∈ (−π/2, π/2); arctan(x) + arctan(1/x) = π/2 dla x > 0 oraz = −π/2 dla x < 0. Pochodna: (arctan x)′ = 1/(1 + x²) dla każdego x ∈ ℝ — funkcja gładka, bez osobliwości na osi rzeczywistej. Całka: ∫ arctan(x) dx = x·arctan(x) − (1/2) ln(1 + x²) + C.

Wzór na pochodną wynika z różniczkowania y = arctan(x), x = tan y, dx/dy = sec² y = 1 + tan² y = 1 + x², więc dy/dx = 1/(1 + x²). Ten wynik jest klasyczny w NIST DLMF i w tablicach A&S.

Pełne wyprowadzenie gałęzi i pochodnej

Krok 1. Rozważamy f(θ) = tan θ na (−π/2, π/2). Pochodna f′(θ) = sec² θ = 1/cos² θ > 0 wszędzie w tym przedziale, więc f jest ściśle rosnąca. Limity na krańcach dają obraz ℝ.

Krok 2. Istnieje jednoznaczna odwrotność g : ℝ → (−π/2, π/2). Oznaczamy g = arctan. Z definicji: tan(arctan(x)) = x oraz arctan(tan θ) = θ na wskazanych zbiorach.

Krok 3 (pochodna). Niech y = arctan(x), więc x = tan y. Różniczkowanie: dx/dy = 1 + tan² y = 1 + x². Stąd (arctan x)′ = 1/(1 + x²). W przeciwieństwie do arcsin i arccos, pochodna jest skończona i ciągła na całej ℝ.

Krok 4 (szereg). Rozwijając 1/(1 + t²) = Σ (−1)^n t^(2n) dla |t| < 1 i całkując wyraz po wyrazie od 0 do x, otrzymujemy arctan(x) = Σ (−1)^n x^(2n+1)/(2n+1). Przy x = 1 szereg zbiega (warunkowo) do π/4.

Przypadki szczególne

Wartości wzorcowe: arctan(0) = 0; arctan(1/√3) = π/6; arctan(1) = π/4; arctan(√3) = π/3. Dla nachylenia 3/4 (trójkąt 3-4-5) arctan(0,75) ≈ 0,6435 rad ≈ 36,87°. Dla dużych |x|, np. x = 1000, wynik jest już bardzo bliski π/2 ≈ 1,5708.

Gdy x → ±∞, kąt dąży asymptotycznie do ±π/2, lecz nigdy ich nie osiąga. Małe zmiany dużego x prawie nie zmieniają wyniku — pochodna 1/(1+x²) maleje jak 1/x². To odwrotność sytuacji przy arcsin blisko ±1.

Uwagi numeryczne i obliczeniowe

Przeglądarka oblicza arctan w arytmetyce zmiennoprzecinkowej (ok. 15–16 cyfr znaczących). Dla pary współrzędnych (x, y) zalecane jest atan2(y, x), które zwraca kąt w (−π, π] z poprawną ćwiartką. Sam arctan(y/x) jest poprawny tylko gdy x > 0. Ten kalkulator pokazuje arctan jednej liczby rzeczywistej.

Wejście może być dowolną liczbą rzeczywistą; brak ograniczenia dziedziny jak przy arcsin. Przecinek i kropka są równoważne. Przełącznik stopni/radianów dotyczy tylko prezentacji wyniku. Przy bardzo dużych |x| wynik saturuje się w okolicy ±90° — to oczekiwane zachowanie gałęzi głównej.

Pojęcia pokrewne i źródła

Pokrewne modele: arcus sinus, arcus cosinus, cotangens kąta (cot θ = 1/tan θ), tangens kąta oraz przelicznik stopni i radianów. Arctan jest także podstawą wielu algorytmów numerycznych (kąt fazowy, filtracja, odwrotność nachylenia).

Źródła: NIST DLMF §4.23; Abramowitz & Stegun, rozdz. 4; MathWorld — Inverse Tangent; Wikipedia — Inverse trigonometric functions. Kalkulator nie zastępuje podręcznika ani pełnej teorii funkcji zespolonych.