Kalkulator prawa Coulomba

Definicja siły między dwoma ładunkami

Prawo Coulomba podaje siłę, z jaką dwa ładunki punktowe działają na siebie w próżni. Wartość wynosi F = k·q₁·q₂/r², a kierunek leży na prostej łączącej ładunki. Dodatni iloczyn q₁·q₂ oznacza odpychanie. Ujemny iloczyn oznacza przyciąganie. Ten kalkulator podaje liczbę ze znakiem iloczynu. Nie rysuje wektora w przestrzeni.

Wartością odniesienia na tej stronie jest q₁ = 1 µC, q₂ = −2 µC oraz r = 0,1 m. Kalkulator podstawia k = 8,9875517923×10⁹ N·m²/C². Wynik na panelu to -1,7975 N. Ta trójka danych jest punktem odniesienia całego tekstu. Jednostką siły jest niuton.

Rys historyczny: waga skręceń Coulomba

Charles-Augustin de Coulomb ogłosił w 1785 roku, w „Histoire de l’Académie royale des sciences”, pomiary siły między ładunkami na wadze skręceń. Siła była proporcjonalna do iloczynu ładunków i malała jak odwrotność kwadratu odległości. Wcześniej do prawa odwrotnych kwadratów doszedł Henry Cavendish. Wyniki Cavendisha ogłosił dopiero James Clerk Maxwell w 1879 roku.

Coulomb mierzył siłę, nie wektor pola. Pojęcie pola jako stanu przestrzeni rozwinął później Michael Faraday, a matematyczną postać nadał mu Maxwell. Dzisiejszy wzór E = k·Q/r² jest siłą Coulomba podzieloną przez ładunek próbny. Ten kalkulator zatrzymuje się na sile między dwoma ładunkami. Natężenie od jednego ładunku liczy osobna strona.

Wyprowadzenie na wartości odniesienia

Krok 1. Zapisz ładunki w kulombach: 1 µC = 1×10⁻⁶ C, a −2 µC = −2×10⁻⁶ C. Krok 2. Podnieś odległość do kwadratu: (0,1 m)² = 0,01 m². Krok 3. Pomnóż stałą przez oba ładunki: 8,9875517923×10⁹ × 1×10⁻⁶ × (−2×10⁻⁶) = −0,0179751035846 N·m². Krok 4. Podziel przez r². Iloraz wynosi −1,79751035846 N, co panel zapisuje jako -1,7975 N.

Zadania szkolne często biorą k = 9×10⁹. Dla tej samej pary i tej samej odległości wychodzi wtedy dokładnie −1,8 N. Ten kalkulator nie ma pola na k i zawsze podstawia 8,9875517923×10⁹, więc panel pokazuje -1,7975 N. Różnica pochodzi wyłącznie ze stałej, nie z innego wzoru. Liczba w kodzie jest powszechnie drukowanym przybliżeniem k = 1/(4πε₀). Nie jest to bieżący odczyt CODATA po redefinicji SI w 2019 roku, gdy ε₀ stało się wielkością mierzoną.

Założenia: punkty, próżnia i brak dielektryka

Kalkulator zakłada, że oba ładunki są skupione w punktach, ośrodek to próżnia, a ładunki spoczywają. Nie dzieli k przez względną przenikalność εᵣ. W liniowym dielektryku szkolne przybliżenie dzieli siłę przez εᵣ. Tę liczbę trzeba wtedy uwzględnić poza kalkulatorem, bo pola na εᵣ tutaj nie ma. Rozmiar rzeczywistej kulki musi być mały wobec r. Przy odległości porównywalnej ze średnicą kul model punktowy zawyża siłę, bo ładunek jest rozłożony, a nie skupiony w jednym punkcie.

Kalkulator nie dodaje sił od kilku par. Superpozycja jest sumą wektorów, a tutaj wynik jest jedną liczbą dla jednej pary. Przy r = 0 wzór ma osobliwość i kalkulator odmawia dzielenia. Ładunki w ruchu, pole magnetyczne i siła Lorentza leżą poza tym modelem.

Znak ładunku i prawo odwrotnych kwadratów

Znak F jest znakiem iloczynu q₁·q₂. Dla wartości odniesienia iloczyn jest ujemny, więc ładunki się przyciągają, a panel pokazuje -1,7975 N. Dwa ładunki +1 µC w odległości 0,05 m dają 3,5950 N i odpychanie. Te same dwa ładunki +1 µC w odległości 0,1 m dają 0,8988 N. Przed zaokrągleniem siła w odległości 0,05 m jest dokładnie cztery razy większa niż siła w odległości 0,1 m, bo w mianowniku stoi r². Panel pokazuje obie liczby po zaokrągleniu do czterech miejsc.

Podwojenie odległości dzieli siłę przez cztery, a nie przez dwa. Dla pary odniesienia przejście z 0,1 m na 0,2 m zmienia wynik z -1,7975 N na -0,4494 N. Zbliżenie z 0,1 m na 0,05 m, przy tych samych 1 µC i −2 µC, daje -7,1900 N. Połowa odległości daje czterokrotność siły, bo r stoi w mianowniku w drugiej potędze.

Czym ten wzór nie jest

Natężenie pola jednego ładunku to E = k·Q/r² i ma jednostkę N/C. Siła Coulomba ma jednostkę N i wymaga dwóch ładunków. Definicja E = F/q korzysta ze zmierzonej siły i z ładunku próbnego. Tej pary ten kalkulator nie przyjmuje. Potencjał ładunku punktowego to V = k·Q/r. Pojemność kondensatora to C = Q/U. Żadnej z tych wielkości ten kalkulator nie liczy.

Prawo grawitacji Newtona, F = G·m₁·m₂/r², ma ten sam kształt, ale inną stałą, inne dane i jeden zwrot: masy się przyciągają. Ładunki mogą się odpychać. Zamiana q na masę i k na G nie jest przeliczeniem, które ten kalkulator wykonuje. Ładunek ze wzoru Q = I·t też liczy osobna strona. Tutaj q₁ i q₂ są już danymi.

Jednostki i rzędy wielkości

Kulomb i niuton są jednostkami SI, zgodnie z broszurą BIPM. Ładunek wprowadza się w kulombach: 1 µC = 1×10⁻⁶ C, a 1 nC = 1×10⁻⁹ C. Odległość wprowadza się w metrach. 10 cm to 0,1 m. Po przełączeniu nagłówka na jednostki US pole r pokazuje stopy, a siła funty-siły z niutonami w nawiasie. Przecinek i kropka w polach są równoważne.

Liczby poniżej są wynikami wzoru dla podanych danych, nie pomiarem z laboratorium. Para 2 µC i −1 µC w odległości 1 m daje -0,0180 N. Dwa ładunki 10 µC w odległości 2 m dają 0,2247 N. Para 100 nC i −50 nC w odległości 0,2 m daje -0,0011 N. Dwa szkolne ładunki elementarne 1,6×10⁻¹⁹ C o przeciwnych znakach, w odległości 1×10⁻¹⁰ m, dają -2.3008e-8 N. To klasyczna siła dwóch punktów, a nie model atomu.

Źródła

Definicja, wyprowadzenie i rys historyczny pochodzą z prac źródłowych i podręczników: C.-A. de Coulomb, pamiętniki w „Histoire de l’Académie royale des sciences”, 1785; J. C. Maxwell (red.), „The Electrical Researches of the Honourable Henry Cavendish”, Cambridge 1879; D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, „Podstawy fizyki”, rozdział o prawie Coulomba; H. D. Young, R. A. Freedman, „University Physics”, rozdział o sile między ładunkami punktowymi; D. J. Griffiths, „Introduction to Electrodynamics”, rozdział 2; R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands, „The Feynman Lectures on Physics”, t. II, rozdział 4; BIPM, broszura SI, 9. wydanie; NIST, stała elektryczna CODATA. Strona ma charakter edukacyjny. Stała w kodzie nie jest odczytem na żywo z CODATA.