Przykład 1 — rosnący ciąg
- Pierwszy wyraz: 2
- Iloraz: 3
- Liczba wyrazów: 4
80
Wyrazy: 2, 6, 18, 54. Suma: 80.
Suma ciągu geometrycznego
Podaj pierwszy wyraz, przez ile mnożysz każdy następny i ile wyrazów dodać. Dostaniesz sumę bez długiego wypisywania.
Ciąg geometryczny to lista, w której każdy następny wyraz powstaje przez mnożenie poprzedniego przez tę samą liczbę (iloraz). Tutaj dodajemy wybrane pierwsze wyrazy. Gdy iloraz wynosi 1, wszystkie wyrazy są takie same — suma to po prostu n razy pierwszy wyraz.
Wynik
Uzupełnij pola, żeby zobaczyć sumę.
Na czym to polega
Przykład: 2, 6, 18, 54… Każdy następny wyraz to poprzedni razy 3. Pierwszy wyraz to 2, iloraz to 3.
Suma to dodawanie tych wyrazów. Przy wielu wyrazach wygodniej użyć gotowego wzoru zamiast mnożyć wszystko ręcznie.
Gdy iloraz jest ujemny, wyrazy na zmianę są dodatnie i ujemne. Gdy iloraz jest duży co do wielkości, suma szybko rośnie — uważaj na bardzo duże n.
Do czego się to przydaje
- Zadania szkolne o ciągach geometrycznych.
- Procentowy wzrost powtarzany co okres (w prostym modelu).
- Sprawdzanie sum bez wypisywania długiej listy.
- Porównanie z ciągiem arytmetycznym: tu mnożenie, tam dodawanie.
Jak korzystać z kalkulatora
- Wpisz pierwszy wyraz.
- Wpisz iloraz — przez tę liczbę mnożysz każdy następny wyraz.
- Wpisz liczbę wyrazów (całkowita, większa od zera).
- Odczytaj sumę. Przy ilorazie 1 wynik jest szczególnie prosty: n × pierwszy wyraz.
Przykłady
Przykład 2 — iloraz 1
- Pierwszy wyraz: 5
- Iloraz: 1
- Liczba wyrazów: 6
30
Wszystkie wyrazy to 5. Suma: 6×5 = 30.
Przykład 3 — ujemny iloraz
- Pierwszy wyraz: 4
- Iloraz: −2
- Liczba wyrazów: 5
44
Wyrazy: 4, −8, 16, −32, 64. Suma: 44.
Najczęstsze pytania
Czym jest ciąg geometryczny?
Lista, w której każdy następny wyraz to poprzedni razy stała liczba (iloraz). Np. 3, 6, 12, 24 (iloraz 2).
Czym jest iloraz?
Stały mnożnik między kolejnymi wyrazami. Może być ułamkiem albo liczbą ujemną.
Czym to się różni od ciągu arytmetycznego?
Tu mnożysz o stały iloraz. W arytmetycznym dodajesz stałą różnicę.
Dlaczego n musi być całkowite?
Bo to liczba wyrazów na liście — nie da się mieć „pół wyrazu”.
Co, gdy iloraz wynosi 1?
Wszystkie wyrazy są równe pierwszemu. Suma = n × pierwszy wyraz.
Co, gdy iloraz wynosi 0?
Pierwszy wyraz zostaje, a kolejne są zerami (jeśli n > 1). Suma równa się pierwszemu wyrazowi.
Dlaczego przy dużym n wynik „wybucha”?
Bo wielokrotne mnożenie szybko daje ogromne liczby. To normalne zachowanie ciągu geometrycznego.
Czy ujemny iloraz jest dozwolony?
Tak. Znaki wyrazów będą się zmieniać na przemian.