Przykład 1
- Tryb: pierwszy i ostatni
- Pierwszy: 3
- Ostatni: 21
- Liczba wyrazów: 7
84
Wyrazy: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21. Skok wynosi 3. Suma: 84.
Kalkulator sumy ciągu arytmetycznego
Wybierz, czy znasz końce listy, czy skok. Ciąg 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21 ma skok 3 i sumę 84. W trybie pierwszy wyraz i skok: 2, 5, 8, 11 sumuje się do 26.
Ciąg arytmetyczny to lista, w której od wyrazu do wyrazu zawsze dodajesz (albo odejmujesz) tę samą wartość - ten stały skok nazywa się różnicą ciągu. Masz dwa tryby wpisywania: gdy znasz końce listy, albo gdy znasz skok. Wynik to ta sama suma, tylko inaczej dochodzisz do danych.
Wynik
Uzupełnij pola, żeby zobaczyć sumę.
Na czym to polega
Ciąg arytmetyczny wygląda jak schody o równych stopniach. Przykład: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21. Od wyrazu do wyrazu dodajesz 3. Pierwszy wyraz 3, ostatni 21, wyrazów 7, skok 3. Suma 3+6+9+12+15+18+21. Skrót: średnia z końców (3+21)/2 = 12, razy 7 daje 84.
Dlatego są dwa tryby. Czasem z zadania znasz końce. Czasem znasz skok i liczbę wyrazów, a ostatniego jeszcze nie. W obu dochodzisz do tej samej sumy. 2, 5, 8, 11: skok 3, n = 4, ostatni 11, suma 26.
Wybierz Co znasz?: Pierwszy i ostatni wyraz albo Pierwszy wyraz i skok. Zawsze wpisz Pierwszy wyraz i Liczbę wyrazów (całkowitą, większą od zera). W pierwszym trybie dopisz Ostatni wyraz. W drugim dopisz Skok (różnica ciągu). Kliknij Oblicz.
Suma geometryczna 2+6+18+54 = 80 mnoży przez iloraz, inna karta. Średnia z listy bez założenia o stałym skoku jest na średniej arytmetycznej.
Bez wymaganych pól trybu wynik nie wychodzi. n = 7,5 nie przechodzi. Ujemny skok oznacza, że ciąg maleje.
1+2+3+…+10 = 55. 10+20+30+40 = 100. Z pierwszym 5, skokiem −2 i n = 4: 5+3+1+(−1) = 8.
Dwa sposoby wpisywania
- Pierwszy i ostatni wyraz - gdy znasz początek i koniec listy oraz ile wyrazów jest między nimi (włącznie). Kalkulator sam policzy skok.
- Pierwszy wyraz i skok - gdy znasz start i o ile rośnie każdy następny wyraz. Kalkulator sam policzy ostatni wyraz, a potem sumę.
Oba sposoby używają tego samego pomysłu: suma = liczba wyrazów × (pierwszy + ostatni) ÷ 2.
Do czego się to przydaje
- Zadania ze szkoły o ciągach arytmetycznych - zarówno z końcami, jak i z różnicą ciągu.
- Szybkie dodawanie wielu liczb rosnących albo malejących o stały skok.
- Sprawdzanie prac domowych bez wypisywania całej listy.
- Proste modele: stały przyrost dnia po dniu, roku po roku.
Jak korzystać
- Wybierz Co znasz?: Pierwszy i ostatni wyraz albo Pierwszy wyraz i skok.
- Wpisz pierwszy wyraz i liczbę wyrazów, całkowitą większą od zera, na przykład 3 i 7.
- W trybie końców wpisz ostatni wyraz, na przykład 21. W trybie skoku wpisz skok, na przykład 3.
- Kliknij Oblicz. 3 do 21 w siedmiu wyrazach daje 84. 2, skok 3, cztery wyrazy dają 26.
- Iloraz razy trzy licz na sumie geometrycznej. Tu dodajesz stały skok.
S = 84 przy 3 do 21 w 7 wyrazach
Ciąg 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21 ma skok 3 i sumę 84. W trybie pierwszy wyraz i skok: 2, 5, 8, 11 sumuje się do 26.
- S
- Suma n × (pierwszy + ostatni) / 2. Siedem wyrazów od 3 do 21: średnia 12 razy 7 = 84. Cztery wyrazy od 2 skokiem 3: 26.
- n
- Liczba wyrazów, całkowita. 7 przy 3 i 21. 4 przy starcie 2 i skoku 3. n = 7,5 nie przechodzi.
- skok
- Stała różnica d. 3 w ciągu 3, 6, …, 21. 3 w ciągu 2, 5, 8, 11. Ujemny skok oznacza, że ciąg maleje.
Jak liczymy wynik
Gdy znasz pierwszy i ostatni wyraz: suma = n × (pierwszy + ostatni) ÷ 2. Skok = (ostatni − pierwszy) ÷ (n − 1), gdy n jest większe niż 1.
Gdy znasz pierwszy wyraz i skok: najpierw ostatni wyraz = pierwszy + (n − 1) × skok. Potem ta sama suma: n × (pierwszy + ostatni) ÷ 2.
Wynik pokazuje też krótką listę wyrazów (do ośmiu), żeby łatwiej sprawdzić, czy wszystko się zgadza.
Przykłady
Przykład 2
- Tryb: pierwszy i skok
- Pierwszy: 2
- Skok: 3
- Liczba wyrazów: 4
26
Wyrazy: 2, 5, 8, 11. Ostatni wyraz wychodzi 11. Suma: 26.
Przykład 3
- Tryb: pierwszy i ostatni
- Pierwszy: 20
- Ostatni: 5
- Liczba wyrazów: 4
50
Wyrazy: 20, 15, 10, 5. Skok wynosi −5. Suma: 50.
Powiązane kalkulatory
Najczęstsze pytania
Ile suma 3+6+…+21?
84. Siedem wyrazów, skok 3. Średnia końców 12 razy 7.
Ile 2+5+8+11?
26. Tryb pierwszy wyraz i skok: start 2, skok 3, n = 4, ostatni wychodzi 11.
Jaki wzór na sumę?
S = n × (pierwszy + ostatni) / 2. Albo n/2 × (2a + (n−1)d), gdy znasz skok d.
Czym tryby się różnią?
Końce: wpisujesz pierwszy i ostatni. Skok: wpisujesz pierwszy i różnicę, ostatni karta wylicza.
Czy n może być 7,5?
Nie. Liczba wyrazów musi być całkowita i większa od zera.
Ile 1+2+…+10?
55. n = 10, końce 1 i 10, średnia 5,5 razy 10.
Czy skok może być ujemny?
Tak. Ciąg maleje. 5, 3, 1, −1 przy n = 4 sumuje się do 8.
Czym to się różni od ciągu geometrycznego?
Tu stały plus. Tam stały iloraz. 2+6+18+54 = 80 jest na tamtej stronie.
Ile 10+20+30+40?
100. Cztery wyrazy, skok 10, średnia końców 25 razy 4.
Czy średnia 2 4 6 liczy się tutaj?
Nie. Średnia z dowolnej listy jest na średniej arytmetycznej. Tu zakładsz równy skok.