Kalkulator środka odcinka

Definicja i dziedzina

Niech A = (x₁, y₁) oraz B = (x₂, y₂) będą punktami na płaszczyźnie euklidesowej. Środek odcinka AB to punkt M = (mx, my) leżący w połowie drogi między A a B. We współrzędnych kartezjańskich wzór brzmi M = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2): każda współrzędna jest średnią arytmetyczną odpowiednich współrzędnych końców. Wynik jest punktem — parą liczb — a nie skalarem długości.

Dziedzina tego kalkulatora: wszystkie skończone współrzędne rzeczywiste w polach x₁, y₁, x₂, y₂. Przeciwdziedzina: napis M = (mx, my) po rundzie round(v×1e6)/1e6 na każdej współrzędnej. Gdy A = B, środek pokrywa się z tym punktem — to poprawny wynik, nie błąd. Puste pole wchodzi jako 0; gdy wszystkie cztery pola są puste, panel zostaje w stanie oczekiwania.

Euklides: punkt równo odległy od końców

W Elementach Euklidesa odcinek jest jednoznacznie wyznaczony przez dwa punkty. Środek odcinka to punkt, który jest równo odległy od obu końców i leży na odcinku. Ta definicja jest czysto geometryczna: nie wymaga układu współrzędnych. Równość odległości MA = MB wynika z konstrukcji: M dzieli AB na dwa równe odcinki.

Własność euklidesowa jest niezależna od skali i od obrotu: jeśli przeniesiesz odcinek izometrycznie, środek przechodzi wraz z nim. Kalkulator nie rysuje cyrkla; zapisuje tę samą własność algebraicznie. Dla (0; 0) i (4; 6) odległość od M = (2; 3) do A wynosi √(4+9) = √13, a do B — też √13, więc warunek Euklidesa jest spełniony.

Kartezjusz i średnia arytmetyczna

René Descartes (Kartezjusz, 1596–1650) wprowadził układ współrzędnych, w którym punkt staje się parą liczb. Geometria analityczna zamienia konstrukcję cyrkla na równania. Środek odcinka jest wtedy średnią: mx = (x₁+x₂)/2, my = (y₁+y₂)/2. Dodawanie liczb rzeczywistych jest przemienne, więc kolejność końców nie zmienia M: (4; 6) i (0; 0) dają ten sam punkt (2; 3) co (0; 0) i (4; 6).

Wektorowo M = A + ½(B − A) = ½(A + B). To ta sama formuła: połowa sumy wektorów położenia. Britannica („Analytic geometry”) i MathWorld („Midpoint”) opisują ten most między geometrią euklidesową a algebrą. Środek odcinka jest też środkiem ciężkości dwóch punktów o równych masach — ta intuicja z mechaniki nie zmienia wzoru współrzędnych. Kalkulator nie wprowadza trzeciej współrzędnej z — działa na płaszczyźnie R².

Pełne wyprowadzenie i własności

Krok 1. Parametryzuj odcinek: punkt P(t) = (1−t)A + tB dla t ∈ [0, 1]. Przy t = 0 otrzymujesz A, przy t = 1 — B.

Krok 2. Połowa parametru to t = ½. Stąd M = P(½) = ½A + ½B = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2).

Krok 3. Sprawdź równość długości: ‖M−A‖ = ‖½(B−A)‖ = ½‖B−A‖ oraz ‖B−M‖ = ½‖B−A‖, więc MA = MB.

Krok 4. Przykłady tej strony: (0,0)&(4,6) → M = (2; 3); (0,0)&(1,1) → M = (0.5, 0.5); (−2,3)&(4,1) → M = (1; 2). Napis wyniku używa kropki dziesiętnej.

Interpolacja liniowa, odległość i sąsiednie modele

Środek jest szczególnym przypadkiem interpolacji liniowej przy t = ½. Przy innym t ∈ (0; 1) punkt leży na odcinku, ale nie w połowie — to osobna strona interpolacji. Odległość dwóch punktów zwraca skalar d = √((x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²), nie punkt M. Te same cztery pola współrzędnych, inny typ wyniku.

Długość wektora od początku układu to ‖v‖ przy A = (0,0). Odległość punktu od prostej używa równania Ax+By+C=0 i normalnej. Twierdzenie Pitagorasa na osobnej stronie liczy bok trójkąta z długości przyprostokątnych, bez czterech współrzędnych końców. Ten kalkulator liczy wyłącznie środek odcinka na płaszczyźnie.

Uwagi numeryczne i kontrakt prezentacji

Kalkulator liczy surowe mx i my jako średnie, potem zaokrągla każdą współrzędną do sześciu miejsc po przecinku i składa napis M = (mx, my). Czyste 2 zostaje 2, nie 2.000000; połowa z 1 daje 0.5. Przecinek i kropka są równoważne jako separator dziesiętny; separator tysięcy ze spacją jest akceptowany.

Obliczenia wykonuje przeglądarka w arytmetyce zmiennoprzecinkowej. Dla typowych współrzędnych szkolnych wynik jest stabilny; przy ekstremalnie dużych wartościach mantysa zmiennoprzecinkowa może stracić drobne ułamki, lecz średnia pozostaje poprawna w sensie szkolnym. Diagram SVG rysuje odcinek AB i punkt M; współrzędne liczbowe wynikają ze wzoru, nie z pikseli. Wynik ma charakter edukacyjny.

Źródła

Model matematyczny: środek odcinka we współrzędnych kartezjańskich (midpoint). Kontekst: Euklides, Elementy (odcinek i punkt równo odległy); René Descartes — geometria analityczna; średnia arytmetyczna współrzędnych. Źródła MathWorld — Midpoint; Wikipedia — Midpoint / Środek odcinka; Wikipedia — Cartesian coordinate system; Britannica — Analytic geometry; Brannan, Esplen, Gray — Geometry (Cambridge). Kalkulator nie zastępuje podręcznika ani sprawdzenia przez nauczyciela.