Kalkulator ułamków

Definicja

Kalkulator ułamków wykonuje cztery działania arytmetyczne na ułamkach zwykłych a/b i c/d oraz operację skrócenia pojedynczego ułamka. Liczniki i mianowniki są liczbami całkowitymi; mianownik nie może być zerem. Wynik jest zawsze sprowadzany do postaci nieskracalnej: po wykonaniu działania licznik i mianownik dzieli się przez ich największy wspólny dzielnik (NWD, algorytm Euklidesa). Znak ujemnego mianownika przenoszony jest do licznika, tak aby mianownik wyniku był dodatni.

Dodawanie i odejmowanie: a/b ± c/d = (a·d ± c·b)/(b·d), potem skrócenie. Mnożenie: (a/b)·(c/d) = (a·c)/(b·d). Dzielenie: (a/b)÷(c/d) = (a·d)/(b·c) przy c ≠ 0. Skrócenie samego a/b to (a/g)/(b/g) gdzie g = NWD(|a|, |b|). Te reguły są standardem szkolnej arytmetyki i teorii liczb wymiernych ℚ.

W nauczaniu warto odróżniać wzór matematyczny od ograniczeń arytmetyki zmiennoprzecinkowej: ten kalkulator pokazuje wynik zgodny z obliczeniem w przeglądarce (arytmetyka zmiennoprzecinkowa), a nie z dowodem symbolicznych tożsamości na papierze. Gdy liczby wejściowe są ekstremalne, najpierw sprawdź dziedzinę, potem skalę arytmetyki zmiennoprzecinkowej.

Kontekst historyczny i pojęciowy

Ułamki zwykłe są modelem ciała liczb wymiernych: klasy równoważności par całkowitych (p, q) z q ≠ 0 przy relacji (p, q) ∼ (p′, q′) ⇔ p·q′ = p′·q. Algorytm Euklidesa na NWD jest znany od Starożytności (Elementy Euklidesa, księga VII) i pozostaje podstawą skracania. MathWorld (Fraction, Euclidean Algorithm) oraz Knuth, TAOCP §4.5, opisują zarówno arytmetykę, jak i złożoność NWD.

Pojęciowo kalkulator nie pracuje na ułamkach dziesiętnych ani na wyrażeniach symbolicznych. Wprowadzasz cztery (lub dwa) całkowite pola; wynik to znowu ułamek całkowity. Równoległy zapis dziesiętny p/q w panelu jest tylko podglądem arytmetyki zmiennoprzecinkowej, nie zamianą modelu.

W nauczaniu warto odróżniać wzór matematyczny od ograniczeń arytmetyki zmiennoprzecinkowej: ten kalkulator pokazuje wynik zgodny z obliczeniem w przeglądarce (arytmetyka zmiennoprzecinkowa), a nie z dowodem symbolicznych tożsamości na papierze. Gdy liczby wejściowe są ekstremalne, najpierw sprawdź dziedzinę, potem skalę arytmetyki zmiennoprzecinkowej.

Własności formalne

Dziedzina: a, b, c, d ∈ ℤ, b ≠ 0, oraz przy dzieleniu c ≠ 0 (i d ≠ 0 jako mianownik drugiego ułamka). Przeciwdziedzina: ułamek nieskracalny z dodatnim mianownikiem. Zbiór wyników leży w ℚ.

NWD spełnia NWD(a, b) = NWD(b, a mod b). LCM(a, b) = |a·b|/NWD(a, b) dla a, b ≠ 0; panel może pokazać NWW mianowników przy dodawaniu. Tożsamości: (a/b) + (c/b) = (a + c)/b; (a/b)·(b/a) = 1 przy a, b ≠ 0.

Skrócenie jest jedyne z dokładnością do znaku: jeśli p/q jest nieskracalne z q > 0, to każdy równoważny ułamek ma postać (k·p)/(k·q) dla k ∈ ℤ \ {0}.

W nauczaniu warto odróżniać wzór matematyczny od ograniczeń arytmetyki zmiennoprzecinkowej: ten kalkulator pokazuje wynik zgodny z obliczeniem w przeglądarce (arytmetyka zmiennoprzecinkowa), a nie z dowodem symbolicznych tożsamości na papierze. Gdy liczby wejściowe są ekstremalne, najpierw sprawdź dziedzinę, potem skalę arytmetyki zmiennoprzecinkowej.

Pełne wyprowadzenie

Krok 1 (normalizacja znaku). Jeśli b < 0, zamień (a, b) na (−a, −b). Analogicznie dla drugiego ułamka.

Krok 2 (działanie). Dla sumy: num = a·d + c·b, den = b·d. Dla różnicy: num = a·d − c·b. Dla iloczynu: num = a·c, den = b·d. Dla ilorazu: num = a·d, den = b·c (wymaga c ≠ 0).

Krok 3 (skrócenie). g = NWD(|num|, |den|); wynik = (num/g)/(den/g) z dodatnim den. Algorytm Euklidesa kończy się, bo reszty maleją w ℕ.

Krok 4 (poprawność). Równość w ℚ wynika z definicji klas: (a/b) + (c/d) = (ad + cb)/(bd) jest niezależna od reprezentanta po skróceniu. Dowód aksjomatyczny ciała ℚ: Lang, Undergraduate Algebra; Hardy & Wright dla NWD.

W nauczaniu warto odróżniać wzór matematyczny od ograniczeń arytmetyki zmiennoprzecinkowej: ten kalkulator pokazuje wynik zgodny z obliczeniem w przeglądarce (arytmetyka zmiennoprzecinkowa), a nie z dowodem symbolicznych tożsamości na papierze. Gdy liczby wejściowe są ekstremalne, najpierw sprawdź dziedzinę, potem skalę arytmetyki zmiennoprzecinkowej.

Przypadki szczególne

Przykłady: 1/2 + 1/3 = 5/6; 3/4 − 1/4 = 1/2; (2/3)·(3/5) = 2/5; (1/2)÷(1/4) = 2/1; skrócenie 12/18 → 2/3. Ułamki mieszane (np. 1 1/2) są prezentacją |p| = q·całość + reszta, nie osobnym typem danych.

Dzielenie przez 0/d lub przez c = 0 jest odrzucane. Ujemne liczniki są dozwolone; −2/4 skraca się do −1/2. Dwa zera w liczniku przy niezerowym mianowniku dają 0/1.

W nauczaniu warto odróżniać wzór matematyczny od ograniczeń arytmetyki zmiennoprzecinkowej: ten kalkulator pokazuje wynik zgodny z obliczeniem w przeglądarce (arytmetyka zmiennoprzecinkowa), a nie z dowodem symbolicznych tożsamości na papierze. Gdy liczby wejściowe są ekstremalne, najpierw sprawdź dziedzinę, potem skalę arytmetyki zmiennoprzecinkowej.

Uwagi numeryczne i obliczeniowe

Pola przyjmują wyłącznie całkowite (walidacja ^-?\d+$). Iloczyny pośrednie a·d mogą wychodzić poza zakres dokładnych liczb całkowitych; przy ekstremalnych wartościach arytmetyka zmiennoprzecinkowa traci dokładność całkowitą powyżej 2⁵³. Do typowych zadań szkolnych zakres wystarcza.

Przecinek w polu całkowitym jest odrzucany (to nie jest kalkulator dziesiętny). Panel pokazuje postać dziesiętną, NWD oraz ewentualnie NWW i zapis mieszany.

W nauczaniu warto odróżniać wzór matematyczny od ograniczeń arytmetyki zmiennoprzecinkowej: ten kalkulator pokazuje wynik zgodny z obliczeniem w przeglądarce (arytmetyka zmiennoprzecinkowa), a nie z dowodem symbolicznych tożsamości na papierze. Gdy liczby wejściowe są ekstremalne, najpierw sprawdź dziedzinę, potem skalę arytmetyki zmiennoprzecinkowej.

Pojęcia pokrewne i źródła

Pokrewne: dziesiętna na ułamek (odwrotny kierunek przez ułamki łańcuchowe), część całkowita i ułamkowa. Ten kalkulator nie liczy potęg ani pierwiastków ułamkowych.

Źródła: Euklides, Elementy VII; Knuth, TAOCP §4.5; MathWorld — Fraction, Euclidean Algorithm; NIST DLMF §1.1 (arytmetyka). Narzędzie edukacyjne — nie zastępuje sprawdzianu pisemnego.

W nauczaniu warto odróżniać wzór matematyczny od ograniczeń arytmetyki zmiennoprzecinkowej: ten kalkulator pokazuje wynik zgodny z obliczeniem w przeglądarce (arytmetyka zmiennoprzecinkowa), a nie z dowodem symbolicznych tożsamości na papierze. Gdy liczby wejściowe są ekstremalne, najpierw sprawdź dziedzinę, potem skalę arytmetyki zmiennoprzecinkowej.