Kalkulator dziesiętnej na ułamek

Definicja

Dziesiętna reprezentacja liczby rzeczywistej x jest zapisem w bazie 10. Wiele wartości ma równoważny zapis jako ułamek zwykły p/q w najniższych wyrazach, gdzie p ∈ ℤ, q ∈ ℕ, q > 0 oraz NWD(p, q) = 1. Przejście od skończonego rozwinięcia dziesiętnego do ułamka jest klasycznym zadaniem arytmetyki: 0,75 = 75/100 = 3/4 po skróceniu przez NWD. Gdy x nie jest skończonym dziesiętnym (albo gdy arytmetyka zmiennoprzecinkowa tylko przybliża x), szuka się najlepszego ułamka o ograniczonym mianowniku. Kalkulator na tej stronie stosuje algorytm ułamków łańcuchowych (continued fractions) z limitem mianownika 10 000, a następnie skraca wynik algorytmem Euklidesa (GCD).

Ułamek łańcuchowy liczby dodatniej ma postać a₀ + 1/(a₁ + 1/(a₂ + …)), gdzie aᵢ są całkowitymi częściami kolejnych odwrotności reszty. Kolejne redukty hₙ/kₙ zbiegają do x i dają najlepsze przybliżenia w sensie Dirichleta: |x − h/k| < 1/k². NIST DLMF §1.12 oraz Knuth, The Art of Computer Programming, t. 2, opisują ten mechanizm. Po uzyskaniu kandydata p/q kalkulator dzieli licznik i mianownik przez NWD(p, q), tak aby wynik był w postaci nieskracalnej.

W nauczaniu warto odróżniać wzór matematyczny od ograniczeń arytmetyki zmiennoprzecinkowej: ten kalkulator pokazuje wynik zgodny z obliczeniem w przeglądarce (arytmetyka zmiennoprzecinkowa), a nie z dowodem symbolicznych tożsamości na papierze. Gdy liczby wejściowe są ekstremalne, najpierw sprawdź dziedzinę, potem skalę arytmetyki zmiennoprzecinkowej.

Kontekst historyczny i pojęciowy

Potrzeba zamiany dziesiętnych na ułamki pojawia się w rachunkowości, metrologii, nauczaniu i w grafice komputerowej, gdzie współrzędne dziesiętne mają być wyrażone jako stosunki całkowite. Klasyczne tablice Abramowitza i Steguna oraz MathWorld (Continued Fraction) traktują redukcje ułamków łańcuchowych jako standardowy sposób odzyskania „sensownego” ułamka z przybliżenia.

Pojęciowo kalkulator nie zgaduje nieskończonego rozwinięcia okresowego w stylu 1/3 = 0,(3). Dla wejścia zmiennoprzecinkowego odczytuje skończoną wartość maszynową i szuka ułamka o małym mianowniku bliskiego tej wartości. Dla dokładnie skończonych dziesiętnych (np. 0,125) wynik po GCD jest dokładny: 1/8. Dla liczb takich jak π przybliżenie zależy od limitu mianownika.

W nauczaniu warto odróżniać wzór matematyczny od ograniczeń arytmetyki zmiennoprzecinkowej: ten kalkulator pokazuje wynik zgodny z obliczeniem w przeglądarce (arytmetyka zmiennoprzecinkowa), a nie z dowodem symbolicznych tożsamości na papierze. Gdy liczby wejściowe są ekstremalne, najpierw sprawdź dziedzinę, potem skalę arytmetyki zmiennoprzecinkowej.

Własności formalne

Wejście: dowolna skończona liczba rzeczywista x (przecinek lub kropka). Wyjście: para (p, q) z q > 0, NWD(|p|, q) = 1 oraz znak przeniesiony do licznika. Dla x = 0 wynik to 0/1. Całkowite x dają mianownik 1.

Algorytm: (1) wydziel znak i część całkowitą; (2) iteruj rozwinięcie ułamka łańcuchowego części ułamkowej aż do zbieżności lub limitu k ≤ 10 000; (3) skróć p/q przez GCD. Błąd bezwzględny |x − p/q| jest raportowany w panelu meta. Tożsamość p/q ≈ x zachodzi w arytmetyce zmiennoprzecinkowej w granicach tego błędu.

GCD Euklidesa: NWD(a, b) = NWD(b, a mod b) aż do reszty 0. Jest to ten sam algorytm, którego używa kalkulator ułamków na tej witrynie przy skracaniu wyników działań.

W nauczaniu warto odróżniać wzór matematyczny od ograniczeń arytmetyki zmiennoprzecinkowej: ten kalkulator pokazuje wynik zgodny z obliczeniem w przeglądarce (arytmetyka zmiennoprzecinkowa), a nie z dowodem symbolicznych tożsamości na papierze. Gdy liczby wejściowe są ekstremalne, najpierw sprawdź dziedzinę, potem skalę arytmetyki zmiennoprzecinkowej.

Pełne wyprowadzenie

Krok 1. Niech x ≠ 0, s = sign(x), X = |x|, a₀ = ⌊X⌋, y = X − a₀. Jeśli y ≈ 0, wynik to (s·a₀)/1.

Krok 2. Ustaw redukt startowy: h₋₁ = 1, k₋₁ = 0, h₀ = a₀, k₀ = 1. Dopóki y jest istotnie dodatnie i k mieści się w limicie: y ← 1/y, a ← ⌊y⌋, (h, k) ← (a·hₙ + hₙ₋₁, a·kₙ + kₙ₋₁), y ← y − a.

Krok 3. Po zatrzymaniu p ← s·h, q ← k. Oblicz g = NWD(|p|, q) i zwróć (p/g)/(q/g).

Krok 4 (dlaczego to działa). Redukty ułamka łańcuchowego minimalizują |q·x − p| wśród ułamków o mianowniku ≤ q. Dowód standardowy: Hardy & Wright, An Introduction to the Theory of Numbers; Knuth, TAOCP §4.5.3.

W nauczaniu warto odróżniać wzór matematyczny od ograniczeń arytmetyki zmiennoprzecinkowej: ten kalkulator pokazuje wynik zgodny z obliczeniem w przeglądarce (arytmetyka zmiennoprzecinkowa), a nie z dowodem symbolicznych tożsamości na papierze. Gdy liczby wejściowe są ekstremalne, najpierw sprawdź dziedzinę, potem skalę arytmetyki zmiennoprzecinkowej.

Przypadki szczególne

Przykłady: 0,5 → 1/2; 0,75 → 3/4; 0,125 → 1/8; 2,5 → 5/2; −0,2 → −1/5; 22/7 jako przybliżenie π pojawia się, gdy wejście jest bliskie 3,142857… przy wystarczającym limicie mianownika.

Gdy |x| jest bardzo duże albo bardzo bliskie zera, arytmetyka zmiennoprzecinkowa traci cyfry znaczące; wtedy „najlepszy” ułamek opisuje wartość maszynową, nie idealną liczbę rzeczywistą z klawiatury. Całkowite wejścia (np. 7) dają 7/1 bez iteracji łańcuchowej.

W nauczaniu warto odróżniać wzór matematyczny od ograniczeń arytmetyki zmiennoprzecinkowej: ten kalkulator pokazuje wynik zgodny z obliczeniem w przeglądarce (arytmetyka zmiennoprzecinkowa), a nie z dowodem symbolicznych tożsamości na papierze. Gdy liczby wejściowe są ekstremalne, najpierw sprawdź dziedzinę, potem skalę arytmetyki zmiennoprzecinkowej.

Uwagi numeryczne i obliczeniowe

Przeglądarka liczy w arytmetyce zmiennoprzecinkowej (ok. 15–16 cyfr znaczących). Limit mianownika 10 000 chroni przed ogromnymi q przy szumie numerycznym. Przecinek i kropka są równoważne.

Kalkulator pokazuje też błąd bezwzględny i ewentualny zapis mieszany. Nie rozwiązuje równań algebraicznych ani nie upraszcza wyrażeń symbolicznych — tylko zamienia jedną liczbę na ułamek.

W nauczaniu warto odróżniać wzór matematyczny od ograniczeń arytmetyki zmiennoprzecinkowej: ten kalkulator pokazuje wynik zgodny z obliczeniem w przeglądarce (arytmetyka zmiennoprzecinkowa), a nie z dowodem symbolicznych tożsamości na papierze. Gdy liczby wejściowe są ekstremalne, najpierw sprawdź dziedzinę, potem skalę arytmetyki zmiennoprzecinkowej.

Pojęcia pokrewne i źródła

Pokrewne modele: kalkulator ułamków (działania + skracanie GCD), część całkowita floor, część ułamkowa. Zamiana ułamka na dziesiętną to zwykłe dzielenie p/q.

Źródła: Knuth, TAOCP t. 2 (continued fractions, Euclid GCD); NIST DLMF §1.12; MathWorld — Continued Fraction, Farey Fraction; Hardy & Wright. Kalkulator jest narzędziem edukacyjnym i nie zastępuje podręcznika teorii liczb.

W nauczaniu warto odróżniać wzór matematyczny od ograniczeń arytmetyki zmiennoprzecinkowej: ten kalkulator pokazuje wynik zgodny z obliczeniem w przeglądarce (arytmetyka zmiennoprzecinkowa), a nie z dowodem symbolicznych tożsamości na papierze. Gdy liczby wejściowe są ekstremalne, najpierw sprawdź dziedzinę, potem skalę arytmetyki zmiennoprzecinkowej.