Kalkulator cyfr rzymskich

Definicja

System cyfr rzymskich (łac. numeri Romani) przypisuje wartości całkowite siedmiu znakom: I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000. Zapis liczby to skończony ciąg tych znaków interpretowany według reguł addytywnych i odejmujących. W konwencji szkolnej (kanonicznej) dozwolone pary odejmujące to wyłącznie IV, IX, XL, XC, CD i CM; poza nimi mniejszy znak nie stoi przed większym. Funkcja toRoman na tej stronie jest bijekcją z {1,…,3999} na zbiór kanonicznych napisów od I do MMMCMXCIX.

Odczyt odwrotny najpierw sumuje tokeny zachłannie od lewej (najdłuższy pasujący token z listy MAP), a następnie wymaga równości napisu z toRoman(n). Ta druga kontrola odrzuca formy niekanoniczne, nawet jeśli naiwna suma liter dałaby „poprawną” wartość arytmetyczną (np. IIII = 4 arytmetycznie, lecz kanonicznie 4 = IV).

Dziedzina tego kalkulatora nie obejmuje zera, ułamków, liczb ujemnych ani liczb ≥ 4000. Zero nie miało osobnego znaku w klasycznym systemie rzymskim; większe wartości historycznie oznaczano m.in. kreską nad symbolem (vinculum, mnożenie przez 1000) — poza zakresem tego kalkulatora.

Kontekst historyczny i pojęciowy

Notacja rzymska wyrasta z wcześniejszych praktyk italskich i etruskich; znaki przypominające I, V i X pojawiają się już w epigrafice przed pełną latynizacją alfabetu. Karl Menninger w Number Words and Number Symbols opisuje ewolucję od zaznaczania jednostek kreskami i „piątek” przez kształt dłoni lub kąt, po ustabilizowanie siedmiu liter w administracji i epigrafice rzymskiej. Georges Ifrah w The Universal History of Numbers podkreśla, że system był przede wszystkim narzędziem zapisu i rachunku publicznego, a nie pozycyjnym systemem o podstawie dziesięć — stąd brak zera i inna logika niż w cyfrach indoarabskich.

Stephen Chrisomalis w Numerical Notation: A Comparative History klasyfikuje cyfry rzymskie wśród systemów cumulative–additive z późniejszymi regułami subtractive. Notacja odejmująca nie była od początku jednolita: w inskrypcjach i rękopisach średniowiecznych współistniały formy addytywne (IIII, VIIII) i odejmujące (IV, IX). Współczesny „zapis szkolny” z sześcioma parami odejmującymi to konwencja dydaktyczna i typograficzna utrwalona w erze druku i nauczania — ta strona stosuje właśnie ją.

Zegary wieżowe i tarczowe często zachowują IIII zamiast IV: wyjaśnienia bywają estetyczne (symetria względem VIII), tradycyjne albo związane z unikaniem formy IV kojarzonej z Jowiszem (IVPITER) w niektórych przekazach — niezależnie od przyczyny, zegarmistrzowska IIII nie jest tu kanoniczna. W filmach, monumentach i numeracji papieży (Jan Paweł II jako Ioannes Paulus II) cyfry rzymskie pełnią dziś funkcję symboliczną i stylistyczną, nie codziennego rachunku.

Własności formalne

Niech T będzie uporządkowaną listą par (wartość, token): (1000,M), (900,CM), (500,D), (400,CD), (100,C), (90,XC), (50,L), (40,XL), (10,X), (9,IX), (5,V), (4,IV), (1,I). Dla n ∈ {1,…,3999} algorytm zachłanny buduje unikalny napis R(n), zbierając kolejne tokeny tak długo, aż suma wartości równa n. Odwrotna funkcja: skanowanie napisu s tokenami z T od lewej daje sumę σ(s); akceptacja wymaga σ(s) ∈ [1,3999] oraz R(σ(s)) = s (po uppercase i usunięciu spacji).

Własności: R jest injektywne i surjektywne na swój obraz; |R(n)| jest ograniczone (najdłuższe kanoniczne napisy w tym zakresie mają rząd kilkunastu znaków, np. MMMCMXCIX). Tokeny V, L, D nie powtarzają się w R(n); I, X, C, M powtarzają się co najwyżej trzy razy z rzędu w części addytywnej. Pary odejmujące występują co najwyżej raz na daną „kolumnę” dziesiętną.

System nie jest pozycyjny: znaczenie znaku nie zależy od miejsca w sensie potęgi bazy, lecz od lokalnych reguł sąsiedztwa (add / subtract). Dlatego „przesunięcie” jak w systemie dziesiętnym nie ma tu bezpośredniego odpowiednika.

Pełne wyprowadzenie

Krok 1 (arabska → rzymska). Wejście: liczba całkowita n, 1 ≤ n ≤ 3999. Reszta r ← n, wynik w ← pusty. Dla każdego (v, t) z T: dopóki r ≥ v, dołącz t do w i r ← r − v. Wyjście: w. Przykład n = 2026: M, M, X, X, V, I → MMXXVI.

Krok 2 (rzymska → arabska). Wejście: napis s. Normalizacja: uppercase, usuń spacje. Odrzuć, jeśli pojawią się znaki spoza MDCLXVI. Indeks i ← 0, suma σ ← 0. Dla każdego (v, t) z T: dopóki s zaczyna się od t na pozycji i, σ ← σ + v, i ← i + |t|. Jeśli i ≠ |s|, odrzuć. Jeśli σ ∉ [1,3999] lub R(σ) ≠ s, odrzuć. W przeciwnym razie wynik to σ.

Krok 3 (dlaczego walidacja kanoniczna). Suma naiwna IIII dałaby 4, lecz R(4) = IV ≠ IIII. Suma IC dałaby 99, lecz R(99) = XCIX ≠ IC. Walidacja R(σ) = s gwarantuje, że akceptowane są wyłącznie napisy generowane przez ten sam model.

Krok 4 (przykład odejmujący). n = 44: XL (40) + IV (4) = XLIV. Tokeny XL i IV pochodzą z listy T; nie powstaje XXXXIIII.

Przypadki szczególne

Dolny kraniec: 1 → I. Górny: 3999 → MMMCMXCIX. Liczby „okrągłe”: 10 → X, 50 → L, 100 → C, 500 → D, 1000 → M, 2000 → MM. Czwórki i dziewiątki w każdej dekadzie: 4→IV, 9→IX, 40→XL, 90→XC, 400→CD, 900→CM. Rok 1990 → MCMXC; 2026 → MMXXVI; 14 → XIV.

Odrzucane: 0, 4000, −3, 14.5, pusty ciąg, „ABC”, „IIII”, „VV”, „IC”, „IL”, „XM”. Małe litery „xiv” są akceptowane jako XIV. Spacje wewnątrz „X I V” są usuwane przed odczytem.

Vinculum (M z kreską = 1 000 000 w niektórych konwencjach) oraz zapis z apostrofem lub nawiasami dla tysięcy nie są obsługiwane — wynik poza 3999 zgłasza błąd zakresu.

Uwagi numeryczne

Kalkulator jest całkowitoliczbowa: w żadnym kroku nie pojawiają się ułamki. Wejście arabskie po zamianie przecinka na kropkę musi być skończoną liczbą całkowitą (n === ⌊n⌋). Odczyt rzymski nie sumuje mechanicznie bez kontroli kanoniczności — to świadomy wybór zgodny z podręcznikowym zapisem.

Złożoność: przy stałej długości listy T i krótkim napisie (kilkanaście znaków) czas jest praktycznie stały. Nie ma ryzyka przepełnienia int32 w zakresie 1–3999.

Panel wyniku pokazuje kierunek, echo wejścia, pary odejmujące obecne w zapisie oraz żetony rozkładu zachłannego — te same wartości co w algorytmie, bez osobnej heurystyki graficznej.

Pojęcia pokrewne i źródła

Pokrewne narzędzia na CalcBoxer: systemy pozycyjne bin/hex/dec (IT), generator liczb losowych, dziesiętna na ułamek. Cyfry rzymskie nie są szyfrem ani kalkulatorem daty — daty rzymskie (dzień.miesiąc.rok jako trzy osobne liczby) wymagają osobnego trybu, którego ten kalkulator nie ma.

Źródła Menninger, Number Words and Number Symbols; Ifrah, The Universal History of Numbers; Chrisomalis, Numerical Notation; hasła encyclopedyczne Wikipedia PL/EN „Cyfry rzymskie” / „Roman numerals”; tablice szkolne z parami IV–CM. Narzędzie edukacyjne — nie zastępuje paleografii inskrypcji.