Generator liczb losowych

Definicja

Niech min, max ∈ ℤ oraz min ≤ max. Długość zakresu wynosi n = max − min + 1. Zbiór nośnika to S = {min, min + 1, …, max} = [min, max] ∩ ℤ. Dyskrety rozkład jednostajny na S przypisuje każdej wartości s ∈ S prawdopodobieństwo P(X = s) = 1/n. Kalkulator na tej stronie realizuje jedno albo wiele niezależnych losowań z S (ze zwracaniem) albo próbkowanie bez zwracania, gdy zaznaczysz brak powtórzeń.

Dla pojedynczego wyniku przy minimum 1 i maksimum 6 mamy n = 6 i P(X = k) = 1/6 dla k = 1, …, 6. To klasyczny model „uczciwej kości” na skończonym zbiorze całkowitym — nie ciągły rozkład jednostajny na przedziale rzeczywistym.

Wynik jest losowy w sensie generatora zaimplementowanego w przeglądarce, a nie w sensie dowodu o nieskończonym ciągu niezależnych zmiennych na papierze. Gdy granice są ekstremalne, najpierw sprawdź dziedzinę całkowitą, potem limit ±10⁹ oraz limit liczby wyników 100.

Kontekst historyczny i pojęciowy

Donald E. Knuth w The Art of Computer Programming, tom 2 (Seminumerical Algorithms), poświęca rozdział generowaniu liczb „losowych” w komputerze: odróżnia sekwencje deterministyczne (PRNG) od idealnej losowości oraz omawia testy i pułapki przenoszenia wyniku na skończony zakres. Współczesne przeglądarki oferują dodatkowo CSPRNG przez Web Crypto API (crypto.getRandomValues), opisane w dokumentacji MDN i w specyfikacji W3C.

NIST publikuje wytyczne dla generatorów deterministycznych i źródeł entropii w serii SP 800-90 (m.in. 800-90A dla DRBG). Ta strona nie twierdzi, że implementacja jest certyfikowana według NIST: korzysta z API przeglądarki i uczciwie rozróżnia CSPRNG od Math.random. Wytyczne NIST służą tu jako kontekst pojęciowy (jakie wymagania stawia się kryptografii), a nie jako pieczęć jakości tej strony.

Pojęciowo warto oddzielić: (1) model matematyczny — dyskretny U(S); (2) źródło bitów — CSPRNG lub PRNG; (3) przeniesienie bitów na zbiór S — tu metoda odrzucania (rejection sampling), by uniknąć nierównych prawdopodobieństw. Koło fortuny, lotto i urzędowe losowania to osobne procedury prawne i sprzętowe.

Własności formalne

Dla X ∼ jednostajny na S: E[X] = (min + max)/2, Var(X) = (n² − 1)/12. Funkcja masy jest stała na S i zero poza S. Przy m niezależnych losowaniach ze zwracaniem wektor (X₁, …, Xₘ) ma rozkład iloczynowy; powtórzenia wartości są dozwolone.

Przy m ≤ n i losowaniu bez zwracania wynik jest równomiernym m-elementowym uporządkowanym podciągiem z S (kolejność wylosowania), równoważnym częściowej permutacji. Liczba możliwych uporządkowanych m-krotek bez powtórzeń to P(n, m) = n!/(n − m)!. Gdy m > n, zdarzenie jest niemożliwe — kalkulator zgłasza błąd zamiast „udawać” wynik.

Tożsamość n = max − min + 1 jest dokładna w arytmetyce całkowitej w podanym limicie ±10⁹. Przesunięcie zakresu (min + c, max + c) nie zmienia n ani jednostajności na nowym zbiorze.

Pełne wyprowadzenie

Krok 1. Wczytaj całkowite min, max oraz liczbę wyników m ∈ {1, …, 100}. Odrzuć ułamki i min > max.

Krok 2. Policz n = max − min + 1. Przy jednym losowaniu wybierz U ∈ {0, …, n − 1} jednostajnie, potem zwróć min + U.

Krok 3 (CSPRNG). Pobierz 32-bitową wartość z crypto.getRandomValues. Niech M = 2³². Niech L = ⌊M / n⌋ · n. Odrzucaj próbki ≥ L, a potem weź resztę modulo n. Dzięki temu każda reszta 0…n−1 ma równe prawdopodobieństwo (brak modulo bias przy n, które nie dzieli M).

Krok 4 (rozwiązanie awaryjne). Gdy Web Crypto jest niedostępne: U = ⌊Math.random() · n⌋. ECMAScript nie gwarantuje jakości kryptograficznej Math.random.

Krok 5 (bez powtórzeń). Zbuduj pulę [min, …, max] i wykonaj m kroków częściowego Fisher–Yates: na pozycji i wylosuj j ∈ {i, …, n − 1}, zamień elementy, dołącz pulę[i] do wyniku.

Krok 6. Przykład: min = 1, max = 6, m = 1 → jedna liczba z sześciu z P = 1/6. min = 1, max = 49, m = 6, bez powtórzeń → sześć różnych wartości z 1…49.

Przypadki szczególne

min = max: n = 1, jedyna możliwa wartość to ta wspólna granica; bez powtórzeń dopuszczalne jest tylko m = 1. Zakres −10…10: n = 21, zero wchodzi do zbioru. m = 100 przy małych n ze zwracaniem jest dozwolone; bez powtórzeń wymaga n ≥ 100.

Puste pole liczby wyników podstawia m = 1. Wartości poza ±10⁹ albo niecałkowite wejście dają komunikat błędu zamiast cichego obcięcia.

Wynik nie jest sekwencją testowaną baterią Diehard/TestU01 — to pojedyncze losowanie edukacyjne w przeglądarce.

Uwagi numeryczne

Math.random zwraca Number w [0, 1) i nie jest przeznaczony do sekretów (hasła, tokeny, klucze). Nawet przy generatorze kryptograficznym samo branie reszty x % n bez odrzucania wprowadza lekkie obciążenie, gdy n nie dzieli 2³² — stąd rejection sampling w tym kalkulatorze.

Przy bardzo dużym n (rzędu 10⁹) pula bez powtórzeń zajęłaby zbyt dużo pamięci; limity m ≤ 100 i |min|,|max| ≤ 10⁹ trzymają narzędzie w praktycznym zakresie przeglądarki. Panel wyniku pokazuje n, P = 1/n oraz etykietę źródła (Web Crypto albo generator awaryjny).

Nie używaj tej strony do podpisów cyfrowych, loterii prawnych ani generowania haseł produkcyjnych. Do kryptografii stosuj specjalne biblioteki kryptograficzne i procedury zgodne z aktualnymi zaleceniami (np. kontekstem NIST SP 800-90), a nie interaktywny kalkulator edukacyjny.

Pojęcia pokrewne i źródła

Pokrewne: kombinacje C(n, k) (liczba podzbiorów), permutacje, modulo (reszta, nie losowanie), rozkład jednostajny ciągły (inny model). Do zliczania sposobów użyj strony kombinacji; tutaj wynik to konkretne liczby.

Źródła: Knuth, TAOCP vol. 2 — Seminumerical Algorithms (rozdział o liczbach losowych); NIST SP 800-90A Rev. 1 (DRBG — kontekst, nie certyfikat tej strony); MDN — Crypto.getRandomValues; Wikipedia — Discrete uniform distribution; W3C Web Cryptography API.