Kalkulator zaokrąglenia do n miejsc

Definicja

Zaokrąglenie liczby rzeczywistej x do k miejsc po przecinku oznacza wybór liczby postaci m · 10⁻ᵏ (m ∈ ℤ), która reprezentuje x z dokładnością do k cyfr ułamka. W zapisie dziesiętnym wynik ma dokładnie k cyfr po przecinku, gdy wyświetlamy napis o stałej szerokości — stąd 1,00 przy k = 2, a nie samo 1.

Na tej stronie definicja operacyjna jest związana z implementacją w przeglądarce: liczba jest zaokrąglana do κ = max(0, ⌊k⌋) miejsc po przecinku funkcją zaokrąglającą przeglądarki (toFixed), a wynik główny to zwrócony przez nią napis. Nie wprowadzamy drugiej, „papierowej” reguły obok silnika.

Zaokrąglenie do n miejsc nie jest tożsame z floor, ceil ani trunc. Te trzy funkcje zawsze zwracają całkowitą i nie przyjmują parametru k. Tu k jest drugim polem i pozostaje widoczne w napisie wyniku.

Kontekst historyczny i pojęciowy

Potrzeba ograniczenia liczby cyfr jest starsza niż komputery: tablice logarytmów, rachunki handlowe i metrologia od dawna stosowały ustalone miejsca dziesiętne. We współczesnej arytmetyce komputerowej kluczowy jest standard IEEE 754 (obecnie IEEE Std 754-2019), który definiuje tryby zaokrąglania dla operacji zmiennoprzecinkowych, w tym domyślny roundTiesToEven (zaokrąglenie do parzystej przy remisie) dla wielu operacji binarnych.

Osobno istnieje rodzina reguł dziesiętnych opisywanych w podręcznikach i na Wikipedia — Rounding: round half up (szkolne „5 w górę”), round half away from zero, round half to even (banker’s), trunc/chop. JavaScript nie udostępnia tu przełącznika trybu zaokrąglania; funkcja toFixed jest zdefiniowana w specyfikacji języka i w praktyce przy remisie dla tej ścieżki zachowuje się jak zaokrąglenie od zera (2,5→„3”, −1,5→„−2”), o ile literał jest dokładnie reprezentowalny.

Pojęciowo warto rozdzielić trzy warstwy: (1) model matematyczny „najbliższa liczba z siatki 10⁻ᵏ”, (2) regułę remisu (half-up vs half-even), (3) reprezentację binarną arytmetyki zmiennoprzecinkowej, która może sprawić, że literał 1,005 nie leży dokładnie na połowie. Ta strona dokumentuje warstwę (3)+(toFixed), a nie fikcyjny dowód szkolny na papierze.

Własności formalne

Dziedzina wejścia: skończone liczby zmiennoprzecinkowe. Parametr k jest sprowadzany do κ = max(0, ⌊k⌋) ∈ ℕ₀. Przeciwdziedzina napisu: zbiór napisów dziesiętnych o κ cyfrach ułamka (z dopuszczalnym znakiem minus).

Dla ustalonego κ funkcja r(x) = Number(x.toFixed(κ)) jest kawałkami stała względem siatki 10⁻κ, z punktami podziału zależnymi od reguły toFixed i od tego, jak x siedzi w arytmetyce zmiennoprzecinkowej. Nie jest to funkcja liniowa; nie zachowuje na ogół r(x+y) = r(x)+r(y).

Porównanie operatorów przy tym samym x: floor(x) ≤ x < floor(x)+1; trunc usuwa ułamek ku zeru; ceil zaokrągla w górę. Żaden z nich nie reprodukuje r(x) przy κ > 0, bo r(x) może mieć niezerową część ułamkową (np. 3,14).

Ujemne κ wejściowe nie otwiera zaokrąglenia do dziesiątek/setek na lewo od przecinka — strona celowo ucina je do zera, zgodnie ze wzorem strony.

Pełne wyprowadzenie

Krok 1. Wczytaj x oraz k z pól formularza. Przecinek i kropka są równoważne. Oblicz κ = max(0, ⌊k⌋).

Krok 2. Wywołaj s = x.toFixed(κ). Specyfikacja ECMA-262 buduje napis dziesiętny z κ cyframi po kropce, zaokrąglając w razie potrzeby według reguł konwersji Number → decimal string.

Krok 3. Oblicz v = Number(s). To ta sama wartość, którą liczy kalkulator. Wyświetlenie primary używa s, więc zera końcowe (1,00) zostają widoczne.

Krok 4 (przykład π). x = 3,14159, κ = 2 → s = „3,14”, v = 3,14. Trzecia cyfra ułamka to 1 < 5, więc siatka 0,01 zatrzymuje się na 3,14.

Krok 5 (połowa). x = 2,5, κ = 0 → s = „3”. Remis przy całkowitej jest rozstrzygany od zera w typowych silnikach toFixed — zgodnie z obserwacją na żywo, nie z banker’s even.

Krok 6 (float). x = 1,005, κ = 2. W binary64 literał jest nieco mniejszy niż 1,005 dziesiętne, więc toFixed(2) daje „1,00”, a nie szkolne 1,01. Kalkulator pokazuje ten fakt zamiast go ukrywać.

Przypadki szczególne

κ = 0: wynik jest całkowity jako napis bez części ułamkowej (np. „3”). To nadal zaokrąglenie, nie floor: floor(2,5) = 2, a tu 2,5→3.

x całkowite: toFixed dopisuje zera ułamka przy κ > 0 (np. 5 przy κ = 2 → „5,00”).

x ujemne: znak zostaje; −1,5 przy κ = 0 → „−2”. Trunc(−1,5) = −1 — inna funkcja.

Bardzo duże |x|: gdy |x| przekracza zakres dokładnych całkowitych w arytmetyce zmiennoprzecinkowej (powyżej 2⁵³), toFixed operuje na już zniekształconej wartości maszynowej.

Przykłady na stronie: 3,14159→3,14; 2,5→3; 1,005→1,00; −1,5→−2; 1,25→1,3; 9,995→9,99 (kolejny efekt float przy „piątce”).

Uwagi numeryczne

IEEE 754 rozróżnia tryby zaokrąglania dla operacji arytmetycznych; domyślny roundTiesToEven nie jest tożsamy z tym, co robi toFixed przy konwersji do napisu dziesiętnego. Mylenie tych dwóch warstw prowadzi do fałszywych oczekiwań „bankowych”.

Porównanie ze szkolnym half-up wymaga dokładnej reprezentacji dziesiętnej. Gdy wartość maszynowa leży poniżej połowy (1,005), half-up na papierze i toFixed w maszynie się rozjeżdżają — strona pokazuje maszynę.

Panel wyniku podaje Δ = v − x, oraz floor/ceil/trunc tego samego x. Kalkulator nie liczy zaokrąglenia do znaczących cyfr (significant figures) ani do wielokrotności innych niż 10⁻κ.

Pojęcia pokrewne i źródła

Pokrewne na witrynie: część całkowita (floor), zaokrąglenie w górę (ceil), część ułamkowa {x} = x − ⌊x⌋. Zaokrąglenie do najbliższej liczby całkowitej bez parametru k to osobny kalkulator.

Źródła IEEE Std 754-2019 — Floating-Point Arithmetic; ECMAScript® Language Specification — Number.prototype.toFixed; Wikipedia — Rounding; MDN — Number.prototype.toFixed. Narzędzie ma charakter edukacyjny.