Kalkulator sumy kątów wielokąta

Definicja

Kąt wewnętrzny wielokąta to kąt między dwoma sąsiednimi bokami, którego wnętrze leży we wnętrzu figury. Dla wypukłego n-kąta (n całkowite, n ≥ 3) na płaszczyźnie euklidesowej suma wszystkich kątów wewnętrznych wynosi S = (n − 2)·180° = (n − 2)π rad. Symbol n oznacza jednocześnie liczbę boków i liczbę wierzchołków. Symbol S jest wynikiem głównym tego kalkulatora. Liczba trójkątów w triangulacji z jednego wierzchołka wynosi n − 2; w wielokącie foremnym jeden kąt wewnętrzny wynosi S/n.

Model dotyczy wielokąta prostego i wypukłego: wszystkie przekątne z ustalonego wierzchołka leżą wewnątrz figury, a wnętrza trójkątów triangulacji nie nachodzą na siebie. Algebraicznie wzór (n − 2)·180° można formalnie podstawić także dla n = 2 i otrzymać 0°, lecz w geometrii euklidesowej nie istnieje 2-kąt; kalkulator wymaga n ≥ 3. Dla wielokątów wklęsłych lub gwiaździstych suma kątów wewnętrznych w sensie szkolnym nie jest już tym samym modelem i nie jest przedmiotem tej strony.

Równoważny zapis w radianach S = (n − 2)π wynika z tożsamości 180° = π rad. Panel wyniku pokazuje także S w radianach, liczbę trójkątów n − 2, kąt foremny S/n oraz fakt, że suma kątów zewnętrznych (po jednym przy wierzchołku, w tym samym kierunku obiegu) wynosi zawsze 360° = 2π rad, niezależnie od n.

Kontekst historyczny i pojęciowy

Fakt, że suma kątów w trójkącie wynosi 180° (albo dwa kąty proste), należy do klasycznego kanonu geometrii euklidesowej i pojawia się w tradycji Elementów Euklidesa jako podstawa dalszych twierdzeń o wielokątach. Rozszerzenie na n-kąt przez triangulację — podział wielokąta na n − 2 trójkąty przekątnymi z jednego wierzchołka — jest standardowym wyprowadzeniem szkolnym i podręcznikowym. MathWorld (Interior Angle) podaje wzór sumy (n − 2)π w radianach oraz kąt foremny (n − 2)π/n; CRC Standard Mathematical Tables (Zwillinger) zbiera te same tożsamości wśród formuł wielokątów.

Pojęciowo S mierzy całkowite zgięcie kątów wewnętrznych wypukłego n-kąta. Przy n = 3 wracamy do sumy w trójkącie; każde zwiększenie n o 1 dodaje dokładnie jeden trójkąt i dokładnie 180° do sumy. Dlatego S jest funkcją liniową zmiennej n: S(n) = 180°·n − 360°. Współczynnik 180° odpowiada jednemu trójkątowi; stała −360° wynika z (n − 2)·180° = 180°n − 360°.

W praktyce inżynierskiej i szkolnej wzór służy do kontroli rysunku foremnego n-kąta (kąt S/n), do obliczeń siatek wielokątnych i do przejścia między stopniami a radianami. Ten kalkulator nie liczy pól, obwodów ani liczby przekątnych — te wielkości mają osobne strony — lecz trzymając S i n − 2, daje pełny szkielet kątowy sumy.

Własności formalne

Dziedzina wejścia: n ∈ ℕ, n ≥ 3 (całkowite). Przeciwdziedzina wyniku w stopniach: S ∈ {180°, 360°, 540°, …} = {k·180° : k ∈ ℕ, k ≥ 1}. W radianach: S ∈ {π, 2π, 3π, …}. Funkcja n ↦ S(n) jest ściśle rosnąca: S(n + 1) − S(n) = 180°. Dla wielokąta foremnego kąt wewnętrzny α = S/n = ((n − 2)/n)·180° spełnia 0° < α < 180° przy n ≥ 3; lim n→∞ α = 180°.

Tożsamości: S_deg = (n − 2)·180; S_rad = (n − 2)·π; S_rad = S_deg · π/180; α_foremny = S/n; liczba trójkątów T = n − 2; liczba przekątnych z jednego wierzchołka w triangulacji D_v = n − 3. Suma kątów zewnętrznych (konwencja jednego kąta zewnętrznego przy każdym wierzchołku, ten sam kierunek) wynosi Σ_ext = 360° niezależnie od n. Przy każdym wierzchołku kąt wewnętrzny i kąt zewnętrzny w tej konwencji są dopełniające: α + ε = 180° dla wypukłego wielokąta.

Monotoniczność i dyskretność: n nie może być ułamkiem — połowa boku nie definiuje n-kąta w tym modelu. Dla n = 3, 4, 5, 6 wartości S wynoszą odpowiednio 180°, 360°, 540°, 720°. Sześciokąt foremny ma α = 120°; czworokąt foremny (kwadrat) ma α = 90°; trójkąt równoboczny ma α = 60°.

Pełne wyprowadzenie

Krok 1 — trójkąt. W geometrii euklidesowej płaszczyzny suma kątów wewnętrznych dowolnego trójkąta wynosi 180° (π rad). Ten fakt jest punktem wyjścia; nie wymaga jeszcze pojęcia n-kąta.

Krok 2 — wybór wierzchołka. Niech P będzie wypukłym n-kątem o wierzchołkach v₁, …, vₙ w kolejności obiegu. Ustal wierzchołek v₁. Wierzchołki sąsiadujące z v₁ to v₂ i vₙ. Pozostałe wierzchołki v₃, …, vₙ₋₁ są niesąsiadujące z v₁.

Krok 3 — przekątne. Narysuj odcinki v₁v₃, v₁v₄, …, v₁vₙ₋₁. Jest ich n − 3. Dzięki wypukłości każdy taki odcinek leży w P i nie przecina boków poza końcami.

Krok 4 — triangulacja i suma. Te przekątne dzielą P na n − 2 trójkątów. Każdy wnosi 180°, stąd S = (n − 2)·180°. W radianach: S = (n − 2)π. Jeśli P jest foremny, każdy kąt wewnętrzny wynosi S/n.

Przypadki szczególne

n = 3: S = 180°, T = 1, α_foremny = 60°. n = 4: S = 360°, T = 2, α = 90°. n = 5: S = 540°, T = 3, α = 108°. n = 6: S = 720° = 4π rad, T = 4, α = 120°. n = 8: S = 1080°, α = 135°. n = 12: S = 1800°, α = 150°.

Granica dużego n: α → 180°, a wielokąt foremny zbliża się wizualnie do okręgu, lecz suma S rośnie bez ograniczenia jak 180°·n. Suma kątów zewnętrznych pozostaje 360°.

Przypadek n < 3 jest odrzucany. Ułamek n = 4,5 jest odrzucany, bo n musi być całkowite. Diagram rysuje foremny n-kąt z triangulacją do n = 16; dla większego n wynik S nadal pochodzi ze wzoru.

Uwagi numeryczne i obliczeniowe

Kalkulator korzysta z jednej liczby n. Silnik sprawdza, czy n jest skończone, całkowite (w tolerancji 10⁻¹² względem zaokrąglenia) i nie mniejsze niż 3. Następnie S_deg = (n − 2)·180 oraz S_rad = (n − 2)·π. Wynik główny jest w stopniach.

Mnożenie całkowitego (n − 2) przez 180 jest dokładne w arytmetyce zmiennoprzecinkowej dla rozsądnych n. Iloczyn (n − 2)·π dziedziczy przybliżenie π. Przecinek i kropka są równoważne.

Pojęcia pokrewne i źródła

Liczba przekątnych całego n-kąta wynosi n(n − 3)/2 i jest liczona na osobnej stronie — tu pojawia się tylko n − 3 przekątnych z jednego wierzchołka. Trzeci kąt w trójkącie (180° − α − β) to szczególny przypadek n = 3 przy dwóch znanych kątach.

Źródła: tradycja Elementów Euklidesa (suma w trójkącie), MathWorld — Interior Angle, Wikipedia (Interior angle / kąt wewnętrzny), CRC / Zwillinger. Kalkulator realizuje S = (n − 2)·180°.