Przykład 1
- a = 3 cm
- b = 4 cm
- c = 5 cm
6
Ile pola ma 3-4-5? 6 cm². To ten sam wynik co ½·3·4.
Pole trójkąta (wzór Herona)
Wpisz trzy boki w centymetrach. Wzór Herona liczy pole bez wysokości. Przy 3, 4 i 5 cm najpierw s = 6, potem pole 6 cm². To klasyczny trójkąt prostokątny, 3-4-5.
Boki muszą spełniać nierówność trójkąta. 2, 3 i 10 cm nie domykają figury i karta zostawia pusty wynik. Etykieta jest w cm, wynik w cm².
Wynik
Wprowadź dane i kliknij Oblicz.
Jak to działa?
Wzór Herona liczy pole trójkąta z samych trzech boków. Nie potrzebujesz wysokości ani kąta. Najpierw półobwód s = (a+b+c)/2. Potem P = √(s(s-a)(s-b)(s-c)). Przy 3, 4 i 5 wychodzi s = 6 i √(6·3·2·1) = 6.
Heron z Aleksandrii zapisał ten iloczyn tak, żeby każdy bok odejmowany od s zostawał dodatni. To inna twarz wzoru ½·a·h: wysokość jest schowana w pierwiastku. Przy 5, 5 i 6 cm s = 8 i pole wynosi 12 cm².
Pola to bok a, bok b i bok c, etykieta w cm. Karta zaokrągla do sześciu miejsc. Gdy s nie jest większe od każdego boku, trójkąt się nie domyka i wynik zostaje pusty. 2, 3 i 10 cm tak właśnie odpada.
3-4-5 jest prostokątny, więc ½·3·4 = 6 zgadza się z Heronem. To nie przypadek: ten sam obszar, dwa zapisy. Inny trójkąt bez kąta prostego i tak przechodzi, byle boki się domykały.
Nagłówek jednostek nie przelicza wpisanych cm na cale. Wpis 3, 4, 5 zostaje 6 cm². Jeśli masz metry, trzymaj jedną skalę we wszystkich trzech polach i pamiętaj, że wynik jest w tych samych jednostkach do kwadratu.
Równoboczny 6, 6, 6: s = 9, pole ≈ 15,588457. 5, 12, 13: s = 15, pole 30. 7, 8, 9: s = 12, pole ≈ 26,832816.
Wzór
s = (a + b + c) / 2, potem P = √(s(s − a)(s − b)(s − c))
Jak korzystać
- Wpisz trzy boki w cm, na przykład 3, 4 i 5.
- Kliknij Oblicz. Pole wynosi 6 cm².
- 5, 5 i 6 dają 12 cm².
- 2, 3 i 10 zostawiają puste pole: to nie jest trójkąt.
- Wysokość liczysz z ½·a·h na innej kartce. Tu wystarczą trzy boki.
3-4-5 daje 6 cm²
Wzór Herona: s = (a+b+c)/2, P = √(s(s-a)(s-b)(s-c)). Przy 3, 4, 5 cm pole wynosi 6 cm². Przy 5, 5, 6 cm wynosi 12 cm².
- Herona
- Wzór na pole z trzech boków. 3-4-5 daje 6 cm². Nie wpisujesz wysokości.
- s
- Półobwód (a+b+c)/2. Przy 3, 4, 5 wynosi 6. Musi być większe niż każdy bok.
- pole
- Wynik w cm². 6 z 3-4-5. 12 z 5-5-6. 30 z 5-12-13. Puste, gdy boki się nie domykają.
Przykłady
Przykład 2
- a = 5 cm
- b = 5 cm
- c = 6 cm
12
Ile pola przy 5, 5 i 6? 12 cm².
Przykład 3
- a = 5 cm
- b = 12 cm
- c = 13 cm
30
Ile pola ma 5-12-13? 30 cm².
Powiązane kalkulatory
Najczęstsze pytania
Ile pola ma trójkąt 3-4-5?
6 cm². s = 6, potem √(6·3·2·1) = 6. To samo co ½·3·4, bo kąt między 3 i 4 jest prosty.
Co znaczy wzór Herona?
Pole z trzech boków przez półobwód s. P = √(s(s-a)(s-b)(s-c)). Nie wpisujesz wysokości.
Co to jest s?
Półobwód, (a+b+c)/2. Przy 3, 4, 5 wynosi 6. Przy 5, 5, 6 wynosi 8.
Ile pola przy bokach 5, 5 i 6?
12 cm². s = 8, √(8·3·3·2) = √144 = 12.
Co gdy boki nie tworzą trójkąta?
Karta zostawia pusty wynik. 2, 3 i 10 cm nie domykają figury, bo 2+3 jest mniejsze niż 10.
Czy 5-12-13 też działa?
Tak. s = 15, pole 30 cm². To kolejny prostokątny, ½·5·12 = 30.
Czy jednostki muszą być centymetry?
Etykieta mówi cm i cm². Jeśli wpiszesz metry, wynik jest w m², byle wszystkie trzy boki były w tej samej skali.
Czy kolejność boków zmienia pole?
Nie. 3, 4, 5 i 5, 3, 4 dają to samo 6. Heron nie pyta, który bok jest podstawą.
Po co pierwiastek?
Żeby z iloczynu czterech długości wrócić do pola, czyli do centymetrów kwadratowych. Bez pierwiastka zostaje cm⁴.
Czym to się różni od ½·a·h?
Ten sam obszar. Tu nie masz h, masz trzy boki. Wysokość jest schowana w s i w pierwiastku.