Kalkulator mediany

Definicja

Niech x₁, …, xₙ będą skończoną próbką liczb rzeczywistych, a x₍₁₎ ≤ x₍₂₎ ≤ … ≤ x₍ₙ₎ ich uporządkowaniem (statystykami pozycyjnymi, ang. order statistics). Mediana z próby Me definiuje się klasycznie w dwóch gałęziach: gdy n = 2k+1 jest nieparzyste, Me = x₍k+1₎; gdy n = 2k jest parzyste, Me = (x₍k₎ + x₍k+1₎)/2. To konwencja średniej z dwóch środkowych, stosowana w podręcznikach statystyki opisowej i w NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods. Mediana jest kwantylem empirycznym rzędu ½ (drugim kwartylem Q₂).

Kalkulator na tej stronie przyjmuje dowolnie długą listę w jednym polu tekstowym, parsuje liczby (spacja, średnik, przecinek jako separator albo dziesiętny), sortuje je rosnąco i stosuje powyższą definicję. Obliczenie: sort numeryczny, potem albo element środkowy, albo średnia z pary środków. Nie jest to estymator gęstości ani mediana ważona — każda poprawnie odczytana wartość ma wagę 1.

W nauczaniu warto odróżniać wzór matematyczny od ograniczeń arytmetyki zmiennoprzecinkowej: ten kalkulator pokazuje wynik zgodny z obliczeniem w przeglądarce (arytmetyka zmiennoprzecinkowa), a nie z dowodem symbolicznych tożsamości na papierze. Gdy liczby wejściowe są ekstremalne, najpierw sprawdź dziedzinę, potem skalę arytmetyki zmiennoprzecinkowej.

Kontekst historyczny i pojęciowy

Mediana jako „wartość środkowa” pojawia się w XIX-wiecznej statystyce opisowej obok średniej i mody (miary położenia). Francis Galton i późniejsi autorzy podkreślali odporność mediany na skrajności przy opisach dochodów, wzrostu czy wyników testów. W teorii estymacji mediana z próby jest estymatorem mediany populacji; przy rozkładzie Laplace’a jest efektywniejsza od średniej. W analizie odpornej (robust statistics) mediana należy do M-estymatorów o wysokim punkcie załamania (breakdown point 50%).

Pojęciowo mediana nie jest średnią arytmetyczną, geometryczną ani harmoniczną. Nie jest też midrange (średnią z min i max). Nie wystarczy przybliżone uporządkowanie — potrzebne jest pełnego uporządkowania albo równoważnego algorytmu wyboru (selection). Ten kalkulator nie liczy przedziałów ufności ani testów znaków; pokazuje punktową medianę z wprowadzonej listy.

Sąsiad „mediana z pięciu liczb” ma stałe n = 5 i pięć pól. Tutaj n jest wolne: lista szkolna, oceny, pomiary. Do średniej z tej samej listy służy strona średniej arytmetycznej.

Własności formalne

Wejście: n ≥ 1 skończonych liczb rzeczywistych. Wyjście: Me ∈ ℝ. Monotoniczność: jeśli każdy xᵢ wzrośnie (lub nie spadnie), mediana nie spada. Przesunięcie: Me(xᵢ + c) = Me(xᵢ) + c. Skalowanie dodatnie λ > 0: Me(λx) = λ Me(x). Dla λ < 0 porządek się odwraca, a mediana skaluje się przez λ (z zachowaniem definicji po sortowaniu wartości).

Odporność: zmiana mniej niż połowy obserwacji nie może przesunąć mediany poza zakres pozostałych wartości (breakdown point 50% dla nieparzystego n w klasycznym sensie). Średnia ma breakdown 0% — jedna nieskończona obserwacja niszczy wynik. Przy 1 1 2 3 100 mediana wynosi 2, średnia 21,4.

Związek z kwantylami: Me = Q₀,₅. Dla nieparzystego n mediana pokrywa się z elementem środkowym. Dla parzystego n konwencja uśredniania dwóch środków jest jedną z kilku stosowanych w oprogramowaniu; ten kalkulator używa właśnie tej klasycznej średniej.

Pełne wyprowadzenie

Krok 1. Zbierz tokeny z pola listy i odczytaj skończone liczby do tablicy L = [y₁, …, yₙ], n ≥ 1.

Krok 2. Uporządkuj: x₍₁₎ ≤ … ≤ x₍ₙ₎ (sort porównawczy po liczbie).

Krok 3. Jeśli n jest nieparzyste, niech k = (n−1)/2 (indeks od zera). Wtedy Me = x₍k+1₎ = L_sorted[k]. Przykład: n = 5, lista 12 7 9 3 18 → 3, 7, 9, 12, 18 → Me = 9.

Krok 4. Jeśli n jest parzyste, niech i = n/2 − 1 oraz j = n/2. Wtedy Me = (x₍i+1₎ + x₍j+1₎)/2. Przykład: n = 4, lista 4 10 2 8 → 2, 4, 8, 10 → Me = (4+8)/2 = 6.

Krok 5. Poprawność istnienia porządku wynika z całkowitego uporządkowania ℝ. Średnia z dwóch środków jest dobrze określona w ℝ. Wynik w przeglądarce to liczba zmiennoprzecinkowa.

Przypadki szczególne

Przykłady: 12 7 9 3 18 → 9; 4 10 2 8 → 6; 10 12 11 1000 → 11,5; 2 5 9 11 20 → 9; 1 1 2 3 100 → 2; 10 10 10 10 50 → 10; 3 6 9 12 → 7,5; −2 0 4 8 10 → 4. Singleton: jedna liczba jest swoją medianą. Wszystkie równe: Me równa się tej wartości.

Pusta lista: brak wyniku. Tokeny niebędące liczbami są pomijane. Ułamki z przecinkiem i kropką są równoważne. Zera i wartości ujemne wchodzą do sortowania jak każde inne.

Gdy n = 2, mediana to średnia obu elementów — to samo co midrange dla dwuelementowej próby. Przy większym n midrange i mediana się rozchodzą.

Uwagi numeryczne i obliczeniowe

Kalkulator sortuje wartości jako liczby, nie jako napisy. Suma dwóch środków dzielona przez 2 jest dokładna dla typowych danych szkolnych; przy ekstremalnych wartościach pamiętaj o ograniczonej precyzji zmiennoprzecinkowej. Format wyświetlania (pl-PL / en-US) nie zmienia wartości wewnętrznej.

Parser: spacje i średniki zawsze rozdzielają; wiele przecinków bez spacji traktuje przecinek jako separator; pojedynczy przecinek w tokenie to dziesiętny. Diagram osi zaznacza punkty i medianę.

Kalkulator nie waży obserwacji, nie odrzuca outlierów automatycznie i nie liczy przedziału międzykwartylowego — te pojęcia należą do innych narzędzi.

Pojęcia pokrewne i źródła

Pokrewne: średnia arytmetyczna, mediana z pięciu pól, min/max i zakres, kwartyle, percentyle, moda. W teorii estymacji — porównanie efektywności mediany i średniej przy różnych rozkładach.

Źródła: NIST/SEMATECH e-Handbook — Percentiles / measures of location; Wikipedia — Median / Mediana; MathWorld — Statistical Median; podręczniki intro stats (order statistics). Narzędzie edukacyjne — nie zastępuje podręcznika ani analizy pełnej próby badawczej.